推翻数学大厦的蚂蚁问题

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 04:14
所谓可达，就是有\(n\)使得 \(a_n = A=\displaystyle\lim_{m\to\infty} a_m\). 不管徐利治或是谁，都要讲 ...

elim先生：
       徐利治，1920年生，张家港市东莱人，毕业于西南联大。一级教授，著名数学家，数学教育家。2019年3月11日11:40逝世，享年99岁。
      徐利治、张景中、张奠宙三位先生并称为“一徐二张”，被誉为当代中国数学学术的三座高峰！
       徐利治先生所说的“极限可达”，是指若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则当n→∞时，f(n)=A.  
       柯西趋向说，极易造成因为∞只表示变化趋势，所以n只能趋向于无穷，而不能等于∞。所以曹氏据此发明了“趋向但不等于”的趋向性极限！在现行教科书中常见“常数的极限就是它自身”的提法。即若β是常数，则有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}β=β\)，也就是说当n→∞，β=β。若按曹氏的“趋向但不等于”的趋向性极限理论则有常数β趋向但不等于常数β。elim先生，你同意这样的解读吗？
       elim先生，在\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)中自变量n趋向于∞时，函数f(n)=A是可达的。根据极限的ε—N语言中，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)\(\iff\)“对任意预先给定的、无论怎样小的正ε，存在N(ε)，当n>N(ε)时，恒有| f(n)-A|<ε”，由ε的任意性，我们知道小于任意ε的量只有0.即只有| f(n)-A|=0，所以f(n)=A.
       在《数学分析》中，讲极限的ε—N语言时，老师都要强调ε的二重性：①ε的任意性。ε的任意性保证了极限唯一性(也就是极限可达性);②ε的确定性：一旦ε给定，我们便可把ε像常数一样带入计算，以求出相应N(ε)，这样也就能在N(ε)的后边拿出一个 n,使得【\(a_n=A\)\(=\displaystyle\lim_{n \to ∞}a_n\)了。】
       elim先生，这段时间你力战群雄。论坛中有多少新鲜的、干奇百怪的东西，您为什么不让制造这些奇谈怪论的学者“闭嘴”，而偏要让曾经跟您学习LaTex语言的学生，或与您一道维护现行数学理论的同盟者闭嘴呢？

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-13 23:43
elim先生：
       &#8203;徐利治，1920年生，张家港市东莱人，毕业于西南联大。一级教授，著名数学家， ...

徐利治的这种若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=A\), 则当\(n\to\infty\) 时\(f(n) = A\).
或许在他年富力强的时代还被接受，但随着数理逻辑的不断成熟，数学分析的进一步
规范化，这种说法肯定已经被扬弃了。

当\(n\to\infty\) 时是什么时候或是什么时刻？能用形式语言写出来吗？

如果从极限的 \(\varepsilon-N\) 定义出发，我们可以不那么讲究地说当\(n\)充分大时\(|f(n)-A|\)
任意小。但严格地还是不能保证 \(f(n)=A\).

退一万步说，徐把非常接近叫作相等是弊大于利。

破解芝诺佯谬不需要徐的说法。

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 07:09
徐利治的这种若\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(n)=A\), 则当\(n\to\infty\) 时\(f(n) = A\).
或许 ...

elim先生：
       在闭嘴之前，我还想作如下三点申辩：
       ①、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，\(\iff\)n→∞时，f(n)=A(等价性可证，本帖从略)。
       ②、对预先给定的无论怎样小的ε>0，存在N(ε)，当n>N(ε)这一时刻便是n→∞的时候或n→∞的时刻。
       ③要想保证｜f(n)-A｜小于任意小的ε，只有｜f(n)-A｜=0。否则若｜f(n)-A｜≠0，则设｜f(n)-A｜=α>0，取ε=\(\frac{α}{2}\)，则有｜f(n)-A｜=α>\(\frac{α}{2}\)=ε，也就是说当｜f(n)-A｜≠0时，不能保证｜f(n)-A｜小于任意小的ε！

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-14 00:47
elim先生：
       在闭嘴之前，我还想作如下三点申辩：
       ①、\(\displaystyle\lim_{n \to \in ...

春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义：给定序列\(f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{R}\), 若有\(A\in\mathbb{R}\)
任给\(\varepsilon>0,\) 存在\(N_{\varepsilon}\in\mathbb{N}\) 使\(|f(n)-A|< \varepsilon\) 对一切 \(n(> N_{\varepsilon})\) 成立，
则称 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}f(n)=A.\)   根据这个定义易见\(\displaystyle\lim_{m\to\infty}\small\frac{1}{m}=0<  \frac{1}{n}\;(\forall  n\in\mathbb{N}^+)\)

所以先生沿用的说法不太严格．不适合稳准狠地对付青山，jzkyllcjl 这些无赖．

门外汉

老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

mathmatical

压死骆驼的最后一根稻草，，

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 09:23
春风晚霞先生，我以为任何因方便而不严格的说法到头来都是加倍的不方便．
不如给出序列极限的严格定义 ...

elim先生：
       大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
      我在 61楼所说的〖徐利治先生所说的“极限可达”，是指若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则当n→∞时，f(n)=A。 〗该命题可简单说成是：若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。威尔斯特拉斯数列极限是柯西数列极限的进一步完善，彻底杜绝了“趋向但不等于”的弊端。事实上柯西的数列收敛原理的充分性，用他的极限趋向说就莫法证明，所以要证明它就必须用威尔斯特拉斯的ε—N语言进行论证。

elim

门外汉 发表于 2023-12-14 03:21
老春头认为蚂蚁能爬到1米，而老E头认为蚂蚁爬不到1米，这就是二者争论的焦点

蚂蚁能爬到头，对分割的念叨却总是烂尾．这就推翻了对数学的推翻．

elim

春风晚霞 发表于 2023-12-14 06:07
elim先生：
       大概您会错意了，我们使用的是威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不 ...

若数列极限存在，则必可然可达，命题的证明也较简单，先生亦可用您的严格定义自行证明。

先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序列的极限这种废话．那么徐利治没有错，只是啰嗦了点．
如果说序列达到其极限\(a\)是指存在某序数\(N\)使\(a_n=a\;(\forall n> N)\) 这种较真准则，那么徐利治就马失前蹄了．因为\(0< 1/n\to 0\) 是圆不了的反例．

春风晚霞

elim 发表于 2023-12-14 16:00
先生证给我看看？
我看问题出在“什么是可达”上．如果说序列可达其极限的意思就是序列的极限等于序 ...

elim先生：
      威尔斯特拉斯数列极限的定义：若对于每个正数ε，不论它怎样小，恒有序号\(N_ε\)，使在n>\(N_ε\)时，一切\(x_n\)的值满足不等式｜\(x_n\)-a｜<ε，则常数a称为整序变量x=\(x_n\)的极限。记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_n=a\)。
       先生置疑“什么是极限可达？”春风晚霞以为命题：“若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)=A\)，则\(n→∞时，f(n)=A\)”亦可作为极限可达的定义。
       现在我们证明数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限可达。由于数列\(\{\frac{1}{n}\}\)收敛极为缓慢，所以我们可用施篤兹定理证明其极限可达。
       证明：在施笃兹定理\((\frac{*}{∞})型\)中，令\(x_n\)=1；\(y_n\)=n.显然\(x_n\)、\(y_n\)满足定理①、②两个条件。并且\(\tfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\tfrac{0}{1}=0\)。所以数列\(\{\frac{1}{n}\}\)的极限是0，而不是趋向于0。
       注意：极限趋向说不定因素较多，比如“充分逼近”、“无限靠扰”、“趋向但不等于”……，其“逼近”、“靠拢”、“趋向”……的程度皆无法界定。故用柯西极限在作定量分析时需要慎重。
       顺便说说，徐利治先生没有马失前蹄．0<1/n→0也不是极限可达的反例！