互素数是能够证明哥猜的之二

白新岭 · 发表于 2024-1-10 21:59

cuikun-186 发表于 2024-1-10 21:30
如果不研究个体的话，假如说某人发现某个偶数B不能表示成1+1，那么哥猜就被反证了。

请问不研究个体还 ...

如果真想研究这类问题，在歌猜中找不到反例（偶数2，偶数4已经被排除掉了）。
研究这样的一个问题，从理论上，用两个孪中之和可以得到任何6n类的偶数，实际上，有十几个特例（不能称它们是反例），两个孪中只差可以得到任意的6n类数，n取正整数，而且都是无穷多组（如果范围不限制的情况下），当限制范围后，除了大于范围的6n没有解之外，即便它内（范围以内的）6n也不一定就有解，为什么？其实大家都明白。
我从来不拿一个所谓的反例推翻猜想，而是用理论去判断这个猜想是否正确，因为大家所说的反例只出现在小范围内，在大范围内不会出现，还有哥德巴赫猜想，如果加码，去掉100内的素数，那么从那个偶数以后仍就符合哥德巴赫猜想呢？即前边所谓的反例到那个偶数就截止了。大偶数对于小素数并不稀罕，有也是五八，没有也是四十。

yangchuanju · 发表于 2024-1-11 19:34

7楼、22楼笔者曾给出以下帖子，其实这个帖子不全正确：
已经知道在与p#互素的互素数系统中，偶数N的互素数对数Sp=ap*[N/p#]+bp；
系数ap最小值是(p-2)#，最大值是(p-1)#；常数bp的最小值是0，最大值是(p-2)#；
若系数ap取最小值，常数bp不计，则Sp≥(p-2)#*[N/p#]；
当偶数N≥p#时，[N/p#]≥1，Sp≥(p-2)#。

又知，当p大于偶数N平方根内最大素数时，偶数N的所有互素数对数都是素数对数，
令素数p的下一个素数是q，可知当偶数大于等于p#^2时，Rpp≥(p-2)#*[p#*p#/q#]=(p-2)#*[p#/q]；
即大于等于p#^2的偶数的哥猜数Rpp≥(p-2)#*[p#/q]，进一步Rpp≥(p-2)#。
（以下第3-4节略）

帖子中的第一节正确，第二节第一行正确；
第二节第二、第三行不再正确，原认为多筛一次更保险，对表达式不产生影响，实则不是这么简单；
错误原因是对于偶数p#^2不论是筛至p还是q，一般来说都没有筛至平方根内最大素数，（只有3#^2=6^2=36以内的偶数筛至5时已筛至根内最大素数）；
第二节第2-3行中的“Rpp≥(p-2)#*[p#/q]，进一步Rpp≥(p-2)#”只对互素数对Spp≥(p-2)#*[p#/q]，进一步Spp≥(p-2)#成立；
Spp指互素数对数，Rpp指素数对数。
由于第二节不全正确，第三节的4个计算、第四节的结论都不再正确。

yangchuanju · 发表于 2024-1-11 19:36

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-11 19:51 编辑

要想使筛分后的互素数对都是素数对，筛分至给定偶数平方根内的最大素数p就可以了，
再多筛一次（筛至素数q）可能筛掉0或2个素数对，如果N-q是素数则素数对q+(N-q)和(N-q)+q被筛掉；
对于偶数p#^2应该筛分至p#内的所有奇素数，而不应该只筛分至p#（p#=2*3*5*…*p，筛分至p#实际是筛分至素数p）；
对于偶数36-900如果筛分至素数5或7，后部相当多偶数都没有筛到底；如果筛分至素数29或31，前部大部分偶数又筛过了头；
正确筛法是
偶数10-24筛至3，26-48筛至5，50-120筛至7，122-168筛至11，170-288筛至13，290-360甚至17，362-528筛至19，530-840筛至23，842-960筛至29即可。

原给出的计算式不是筛至q#或p#以内的所有素数，实际是筛至q或p，没有筛到偶数平方根内的最大素数，不是筛过头了，而是没有筛净！
对2-900偶数的筛分，当用3-29筛分后，大部分偶数都筛过头了。
改为以下说法才行:
令N是略大于或等于p#，不大于下一个素数阶乘q#的偶数，N=p#*k，式中q>k>=1，在筛分至p时，中括号内的取整项[k*p#/p#]=[k]≥1，可得到Sn≥(p-2)#。
互素数对数S中可能含有含1的数对，但不再含非素互素数对；除可能含有的含1非素数对外都是素数对。
q#除以p#等于q>1，k在1至q之间。

令p=3，3#=6，N=6-28；需筛分至3#--5#；
令p=5，5#=30，N=30-208；需筛分至5#--13#；
令p=7，5#=210，N=210-2308；需筛分至13#--47#；
令p=11，5#=2310，N=2310-30028；需筛分至47#--173#；
令p=13，13#=30030，N=30030-510508；需筛分至173#--709#；

互素数对数计算公式S=(p-2)#*[N/p#]+b，与偶数N和筛分素数p的大小息息相关；
当我们对偶数N筛分至3#时，系数(p-2)#=(2-1)*(3-2)=1，p#=2*3=6，S=1*[N/6]+b；如要求筛分后的互素数对都是素数对（可能还含有含1的数对暂忽略），偶数N不能大于24（24的根内最大素数是3）；当N等于10--24时，系数a=1，[N/6]=1~4，S≥1*1+0≥1，常数b=0~2；

当我们对偶数N筛分至5#时，系数(p-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)=3，p#=2*3*5=30，S=3*[N/30]+b；如要求筛分后的互素数对都是素数对（可能还含有含1的数对暂忽略），偶数N不能大于48（48的根内最大素数是5）；当N等于26--28时，系数a=3，[N/30]=0，S=3*0+b=b，常数b不应忽略；当N等于30--48时，系数a=3，[N/30]=1，S=3*1+b=3+b，b可以忽略。

当我们对偶数N筛分至7#时，系数(p-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*(7-2)=15，p#=2*3*5*7=210，S=15*[N/210]+b；如要求筛分后的互素数对都是素数对（可能还含有含1的数对暂忽略），偶数N不能大于120（120的根内最大素数是7）；当N等于50--120时，系数a=15，[N/210]=0，S=15*0+b=b，常数b不应忽略；

当我们对偶数N筛分至11#时，系数(p-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*(7-2)*(11-2)=135，p#=2*3*5*7*11=2310，S=135*[N/2310]+b；如要求筛分后的互素数对都是素数对（可能还含有含1的数对暂忽略），偶数N不能大于168（120的根内最大素数是7）；当N等于122--168时，系数a=135，[N/2310]=0，S=135*0+b=b，常数b不应忽略；

当我们对偶数N筛分至13#时，系数(p-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*(7-2)*(11-2)*(13-2)=1485，p#=2*3*5*7*11*13=30030，S=1485*[N/30030]+b；如要求筛分后的互素数对都是素数对（可能还含有含1的数对暂忽略），偶数N不能大于288（288的根内最大素数是13）；当N等于170--288时，系数a=1485，[N/30030]=0，S=1485*0+b=b，常数b不应忽略；

看来常数b是不能忽略的，因为筛分素数的连乘积p#增长太快，而N增长缓慢，中括号基本上都是0，故必须保留常数b。

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 07:42

7楼、22楼给出
当p=3，p#=6，N=36，q=5，q#=30时，(p-2)#=(2-1)*(3-2)=1，R36=8（36=5+31=7+29=13+23=17+19=19+17=23+13=29+7=31+5）；R36=8≥(3-2)#=1；也大于1*[6/5]=1；（经验证，36-898之间的最小哥猜数是3，最大哥猜数是102）
当p=5，p#=30，N=900，q=7，q#=210时，(5-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)=3，R900=48*2=96；R900=96≥(5-2)#=3；也大于3*[30/7]=12；（经验证，900-44098之间的最小哥猜数是26，最大哥猜数是2344）
当p=7，p#=210，N=44100，q=11时，(7-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*(7-2)=15，R44100=1007*2=2014；R44100=2014≥(7-2)#=15；也大于15*[210/11]=15*19=285；经验证，44100-220000之间的最小哥猜数是584，最大哥猜数是8622）
当p=11，p#=2310，N=5336100，q=13时，(11-2)#=(2-1)*(3-2)*(5-2)*(7-2)*(11-2)=135，R5336100=60037*2=120074；R533610000=120074≥(11-2)#=135；也大于15*[2310/13]=135*177=23895；

这些实例都是正确的，只是其中的不等式是根据第二节的“结论”给出的，不等式欠妥：
“即大于等于p#^2的偶数的哥猜数Rpp≥(p-2)#*[p#/q]，进一步Rpp≥(p-2)#。”

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 07:42

8楼给出的计算表原表标题栏
“偶数与31#互素数对素数对偶数互素数对素数对偶数互素数对素数对”有误，
应改为“偶数与29#互素数对素数对偶数互素数对素数对偶数互素数对素数对”，
表中的偶数36--900皆用素数3,5,7,11,13,17,19,23,29筛了一遍，除842-900以外，都筛过了头；
因而表中给出的互素数对数中出现较多的0，如偶数76（根内最大偶数是7）筛分至素数7即可，此刻互素数对数是6，而表中给出了0。
8楼表标题栏已改正！

9-21楼数据和结论正确！

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 08:06

偶数2-900的互素数对数表
偶数互素对筛至偶数互素对筛至偶数互素对筛至
2 1 3 302 17 17 602 24 23
4 0 3 304 18 17 604 20 23
6 2 3 306 28 17 606 46 23
8 2 3 308 18 17 608 26 23
10 1 3 310 20 17 610 32 23
12 4 3 312 34 17 612 44 23
14 3 3 314 15 17 614 27 23
16 2 3 316 16 17 616 32 23
18 6 3 318 26 17 618 46 23
20 4 3 320 16 17 620 30 23
22 3 3 322 18 17 622 27 23
24 8 3 324 32 17 624 52 23
26 3 5 326 11 17 626 17 23
28 2 5 328 16 17 628 30 23
30 8 5 330 44 17 630 74 23
32 4 5 332 14 17 632 18 23
34 3 5 334 17 17 634 23 23
36 6 5 336 36 17 636 48 23
38 5 5 338 18 17 638 26 23
40 4 5 340 24 17 640 34 23
42 8 5 342 30 17 642 48 23
44 6 5 344 16 17 644 32 23
46 3 5 346 17 17 646 28 23
48 10 5 348 30 17 648 50 23
50 4 7 350 24 17 650 36 23
52 4 7 352 16 17 652 26 23
54 10 7 354 36 17 654 52 23
56 4 7 356 14 17 656 22 23
58 5 7 358 15 17 658 32 23
60 12 7 360 40 17 660 76 23
62 5 7 362 11 19 662 25 23
64 6 7 364 22 19 664 22 23
66 8 7 366 28 19 666 52 23
68 4 7 368 16 19 668 20 23
70 8 7 370 22 19 670 36 23
72 12 7 372 30 19 672 60 23
74 7 7 374 20 19 674 29 23
76 6 7 376 18 19 676 28 23
78 10 7 378 38 19 678 52 23
80 8 7 380 24 19 680 36 23
82 7 7 382 17 19 682 28 23
84 16 7 384 34 19 684 56 23
86 5 7 386 15 19 686 28 23
88 6 7 388 16 19 688 28 23
90 18 7 390 50 19 690 72 23
92 6 7 392 16 19 692 22 23
94 7 7 394 17 19 694 31 23
96 12 7 396 36 19 696 52 23
98 8 7 398 13 19 698 25 23
100 10 7 400 22 19 700 44 23
102 16 7 402 30 19 702 60 23
104 8 7 404 18 19 704 32 23
106 7 7 406 22 19 706 33 23
108 14 7 408 34 19 708 44 23
110 10 7 410 26 19 710 32 23
112 10 7 412 18 19 712 30 23
114 18 7 414 36 19 714 68 23
116 8 7 416 16 19 716 26 23
118 9 7 418 20 19 718 27 23
120 22 7 420 58 19 720 76 23
122 7 11 422 19 19 722 24 23
124 8 11 424 20 19 724 26 23
126 20 11 426 36 19 726 58 23
128 8 11 428 14 19 728 30 23
130 12 11 430 26 19 730 38 23
132 18 11 432 36 19 732 56 23
134 7 11 434 24 19 734 29 23
136 8 11 436 16 19 736 34 23
138 14 11 438 34 19 738 52 23
140 14 11 440 26 19 740 34 23
142 9 11 442 22 19 742 34 23
144 18 11 444 38 19 744 58 23
146 9 11 446 17 19 746 27 23
148 8 11 448 22 19 748 36 23
150 24 11 450 48 19 750 70 23
152 8 11 452 18 19 752 26 23
154 12 11 454 19 19 754 30 23
156 18 11 456 42 19 756 62 23
158 9 11 458 17 19 758 27 23
160 12 11 460 26 19 760 38 23
162 16 11 462 52 19 762 54 23
164 10 11 464 22 19 764 28 23
166 9 11 466 19 19 766 29 23
168 24 11 468 42 19 768 56 23
170 12 13 470 24 19 770 50 23
172 10 13 472 22 19 772 32 23
174 20 13 474 38 19 774 58 23
176 10 13 476 24 19 776 26 23
178 9 13 478 17 19 778 25 23
180 26 13 480 54 19 780 80 23
182 12 13 482 17 19 782 26 23
184 10 13 484 24 19 784 32 23
186 20 13 486 42 19 786 56 23
188 8 13 488 20 19 788 30 23
190 14 13 490 34 19 790 40 23
192 20 13 492 42 19 792 62 23
194 11 13 494 22 19 794 31 23
196 14 13 496 22 19 796 26 23
198 24 13 498 40 19 798 76 23
200 14 13 500 26 19 800 38 23
202 11 13 502 25 19 802 29 23
204 20 13 504 50 19 804 60 23
206 9 13 506 24 19 806 30 23
208 12 13 508 24 19 808 26 23
210 34 13 510 60 19 810 76 23
212 12 13 512 18 19 812 36 23
214 13 13 514 23 19 814 34 23
216 24 13 516 40 19 816 62 23
218 11 13 518 20 19 818 31 23
220 18 13 520 30 19 820 36 23
222 20 13 522 46 19 822 56 23
224 14 13 524 22 19 824 30 23
226 11 13 526 23 19 826 36 23
228 24 13 528 44 19 828 62 23
230 16 13 530 26 23 830 40 23
232 10 13 532 30 23 832 36 23
234 26 13 534 40 23 834 56 23
236 12 13 536 24 23 836 32 23
238 14 13 538 25 23 838 29 23
240 32 13 540 56 23 840 96 23
242 14 13 542 19 23 842 29 29
244 12 13 544 22 23 844 28 29
246 26 13 546 56 23 846 56 29
248 10 13 548 22 23 848 28 29
250 16 13 550 36 23 850 44 29
252 30 13 552 42 23 852 56 29
254 13 13 554 17 23 854 42 29
256 14 13 556 22 23 856 32 29
258 28 13 558 44 23 858 74 29
260 18 13 560 30 23 860 34 29
262 13 13 562 25 23 862 27 29
264 30 13 564 44 23 864 62 29
266 14 13 566 21 23 866 27 29
268 14 13 568 22 23 868 36 29
270 36 13 570 58 23 870 84 29
272 14 13 572 22 23 872 32 29
274 15 13 574 24 23 874 34 29
276 26 13 576 44 23 876 64 29
278 13 13 578 24 23 878 27 29
280 24 13 580 30 23 880 44 29
282 28 13 582 42 23 882 72 29
284 12 13 584 20 23 884 40 29
286 20 13 586 21 23 886 27 29
288 28 13 588 54 23 888 68 29
290 16 17 590 26 23 890 40 29
292 14 17 592 26 23 892 32 29
294 34 17 594 50 23 894 60 29
296 12 17 596 20 23 896 36 29
298 17 17 598 26 23 898 33 29
300 38 17 600 60 23 900 88 29

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 08:19

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-1-12 08:24 编辑

偶数2-900的互素数对数表中的互素数对中可能包含有含1的互素数对，
去掉后即为素数对数。
表中的2的互素数对数是1，2=1+1不是素数对；
4的互素数对数是0，4=2+2有一个素数对；
6的互素数对数是2，6=1+5=5+1，筛至3过筛了，还有3+3一对，其中1+5和5+1都不是素数对，6=3+3是素数对；
8的互素数对数是2，6=1+7=7+1，筛至3过筛了，还有3+5和5+3两对，其中1+7和7+1都不是素数对，3+5和5+3是素数对；
10的互素数对数是1，10=5+5，素数对；
12的互素数对数是4，12=1+11=5+7=7+5=11+1，1+11和11+1不是素数对，5+7和7+5是素数对；……

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 10:37

在筛分至p#时，偶数N的互素数对数是Sp=ap*[N/p#]+bp；
当偶数N小于p#时，中括号内的取整项等于0，Sp=bp；
常数bp最小为0，最大为(p-2)#=(2-1)*(*3-2)*(5-2)*(7-2)*…*(p-2)；
当p=5，p#=30时，偶数2-30的常数b5分别等于（对于30认为其模30的余数是30）：
偶数 b5 偶数 b5 偶数 b5
2 1 12 2 22 1
4 0 14 3 24 6
6 0 16 0 26 3
8 2 18 4 28 2
10 0 20 4 30 8
其中b5等于0的偶数有4,6,10,16四个；
30以内各个偶数已筛分至素数5，筛余互素数对数S5等于b5；
对于8以内的偶数筛分至素数5实际上筛过了头，暂且不去管它；
在筛余互素数对数中再去掉可能含有的含1数对（当N-1是素数时）都是素数对了；
由于存在帅过头的偶数，故是的素数对数大于等于偶数N的实际素数对数。

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 10:38

当p=7，p#=210时，偶数2-210的常数b7分别等于（对于210认为其模210的余数是210）：
偶数 b7 偶数 b7 偶数 b7
2 1 72 12 142 11
4 0 74 7 144 22
6 0 76 6 146 9
8 0 78 10 148 10
10 0 80 8 150 28
12 2 82 7 152 10
14 2 84 16 154 14
16 0 86 5 156 20
18 2 88 6 158 11
20 2 90 18 160 16
22 1 92 6 162 22
24 4 94 7 164 12
26 1 96 12 166 11
28 2 98 8 168 28
30 6 100 10 170 16
32 4 102 16 172 12
34 3 104 8 174 26
36 4 106 7 176 12
38 3 108 14 178 11
40 4 110 10 180 34
42 8 112 10 182 16
44 4 114 18 184 14
46 3 116 8 186 26
48 8 118 9 188 14
50 4 120 22 190 18
52 4 122 9 192 28
54 10 124 10 194 15
56 4 126 20 196 16
58 5 128 8 198 28
60 12 130 12 200 20
62 5 132 20 202 15
64 6 134 9 204 30
66 8 136 8 206 15
68 4 138 18 208 14
70 8 140 16 210 48
其中b7等于0的偶数有4,6,8,10,16五个；
210以内各个偶数已筛分至素数7，筛余互素数对数S7等于b7；
对于48以内的偶数筛分至素数7实际上筛过了头；
对于50-120刚好筛净；
对于大于122的偶数还没有筛到底。
在50-120之间，最小b7是4，即最小互素数对数是4，减去其中可能含有的含1数对，它们的哥猜素数对数R2≥4-2=2。

yangchuanju · 发表于 2024-1-12 10:39

加大一级，当p=11，p#=2310时，偶数2-2310的常数b11分别等于（只给出偶数122-168之b11）：
偶数 b11 偶数 b11 偶数 b11
122 7 138 14 154 12
124 8 140 14 156 18
126 20 142 9 158 9
128 8 144 18 160 12
130 12 146 9 162 16
132 18 148 8 164 10
134 7 150 24 166 9
136 8 152 8 168 24
其中b11没有等于0的；另b11等于0的有8个偶数4,6,8,10,12,16,22,28；
这些偶数已筛分至素数11，刚好筛净，筛余互素数对数S11等于b11；
在122-168之间，最小b11是7，即最小互素数对数是7，减去其中可能含有的含1数对，它们的哥猜素数对数R2≥7-2=5。

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互素数是能够证明哥猜的之二

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