最密孪生素数串的可能结构和跨距

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:31

在与30互素的互素数系统中共有3种孪串组合——
序号 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10 p11 p12
1 11 13 17 19 29 31 41 43 47 49 59 61
2 17 19 29 31 41 43 47 49 59 61 71 73
3 29 31 41 43 47 49 59 61 71 73 77 79

对于孪1串、孪2串、孪3串都能通过素数2,3,5的检验，且不需要用素数7检验；
对于孪4串要用素数7检验，孪5串、孪6串要用素数7和11联合检验。

对于孪1-7串能够通过各个素数检验的有效种数分别是3,3,3,3,3,3,2种，有效种类中跨距最小的孪串倍受瞩目——
孪对数最大跨距最小跨距有效种数有效种中最小跨距组数
孪1串 2 2 3 2 3
孪2串 14 8 3 8 1 1#
孪3串 26 20 3 20 2 1,3#
孪4串 32 32 3 32 3
孪5串 44 38 3 38 1 1#
孪6串 56 50 3 50 2 1,3#
孪7串 62 62 2 62 2 1,2#
孪8串 74 68 0 —— ——

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:34

在与210互素的互素数系统中共有15种孪串组合，
对于孪1-6串能够通过各个素数检验，各孪串中的有效种类数、最小跨距、具有最小跨距的种数，见下表——
孪对数最大跨距最小跨距有效种数有效种中最小跨距组数
孪1串 2 2 15 2 15
孪2串 32 8 15 8 3
孪3串 44 20 15 20 4
孪4串 68 32 15 32 6
孪5串 80 38 15 38 1
孪6串 98 50 15 50 2
孪7串 110 62 14 62 2
孪8串 128 74 9 86 2
孪9串 140 86 6 128 2
孪10串 152 104 5 140 2
孪11串 164 116 4 158 2
孪12串 176 134 2 170 4

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2025-8-21 05:08 编辑

在与2310互素的互素数系统中各有135种孪串组合，
对于孪1-7串能够通过各个素数检验，各孪串中的有效种类数、最小跨距、具有最小跨距的种数，见下表——
孪对数最大跨距最小跨距有效种数有效种中最小跨距组数
孪1串 2 2 135 2 135
孪2串 32 8 135 8 21
孪3串 44 20 135 20 20
孪4串 68 32 135 32 22
孪5串 80 38 135 38 2
孪6串 98 50 135 50 2
孪7串 110 62 135 62 2
孪8串 128 74 119 86 6
孪9串 140 86 99 104 4
孪10串 152 104 81 134 10
孪11串 164 116 53 146 5
孪12串 176 134 34 170 4
孪13串 242 182 22 182 2
孪14串 260 200 14 212 4
孪15串 290 212 6 224 2

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:36

在与30030互素的互素数系统中各有1485种孪串组合，
对于孪1-8串能够通过各个素数检验，各孪串中的有效种类数、最小跨距、具有最小跨距的种数，见下表——
孪对数最大跨距最小跨距有效种数有效种中最小跨距组数
孪1串 2 2 1485 2 1485
孪2串 68 8 1485 8 189
孪3串 98 20 1485 20 140
孪4串 140 32 1485 32 126
孪5串 158 38 1485 38 8
孪6串 170 50 1485 50 4
孪7串 188 62 1485 62 4
孪8串 206 86 1485 86 8
孪9串 230 104 1481 104 8
孪10串 242 128 1457 134 16
孪11串 284 140 1375 146 7
孪12串 302 170 1261 170 4
孪13串 332 182 1116 182 2
孪14串 350 200 940 212 4
孪15串 368 212 752 224 2
孪16串 380 224 560 254 20
孪17串 392 254 376 272 10
孪18串 422 266 240 290 2
孪19串 440 284 140 314 4
孪20串 464 302 76 338 2
孪21串 488 314 50 350 2
孪22串 518 344 36 380 8
孪23串 530 356 24 392 2
孪24串 560 392 18 410 4
孪25串 578 398 12 422 2

yangchuanju · 发表于 2025-8-19 19:47

在与510510互素的互素数系统中共有22275种孪串组合，（在30030,2310,210,30系统中各有1485,135,15,3种孪串结构）
对于孪10-39串能够通过各个素数检验的有效种数分别是22255——2种，有效种类中的最小跨距的孪串为所求，见下表——
孪对数最大跨距最小跨距有效种数有效种中最小跨距组数
孪10串 350 134 22255 134 44
孪11串 374 146 22119 146 16
孪12串 386 170 21771 170 12
孪13串 392 182 21137 182 8
孪14串 452 212 20018 212 34
孪15串 464 218 18251 224 6
孪16串 500 248 16038 254 52
孪17串 530 260 13881 266 2
孪18串 542 284 11731 290 8
孪19串 572 302 10002 302 6
孪20串 590 314 8382 338 8
孪21串 614 344 6876 350 2
孪22串 632 356 5474 380 12
孪23串 650 392 4236 392 2
孪24串 680 410 3218 410 4
孪25串 710 422 2402 422 2
孪26串 728 440 1732 440 2
孪27串 752 464 1190 470 2
孪28串 782 482 778 512 4
孪29串 800 512 486 560 2
孪30串 824 524 311 584 2
孪31串 854 554 194 602 2
孪32串 866 566 200 596 2
孪33串 884 602 82 662 2
孪34串 914 632 60 704 6
孪35串 938 644 42 716 2
孪36串 962 662 24 764 2
孪37串 992 680 10 794 2
孪38串 1004 704 4 830 2
孪39串 1034 716 2 872 2

yangchuanju · 发表于 2025-8-20 21:01

各种不同的互素数系统中的孪串表达式的相同和不同
在各个不同的互素数系统中从首个孪生互素数对开始，向后截取不同的连续孪生互素数对，便得到各种不同的孪1串、孪2串、孪3串、孪4串……；
例在与30互素的互素数系统中的3种孪串组合中分别截取孪1串、孪2串、……孪3串如下：
30互素数 1 2 3
孪1串 11,13 17,19 29,31
孪2串 11,13;17,19 17,19;29,31 29,31;41,43
孪3串 11,13;17,19;29,31 17,19;29,31;41,43 29,31;41,43;47,49
孪4串 11,13;17,19;29,31;41,43 17,19;29,31;41,43;47,49 29,31;41,43;47,49;59,61
孪5串 11,13;17,19;29,31;41,43;47,49 17,19;29,31;41,43;47,49;59,61 29,31;41,43;47,49;59,61;71,73

yangchuanju · 发表于 2025-8-20 21:01

在各个不同的互素数系统中，孪串组合总数各不相同——
互素数组合总数增加倍数
30 3 3
210 15 5
2310 135 9
30030 1485 11
510510 22275 15
9699690 378675 17
……

yangchuanju · 发表于 2025-8-20 21:03

对于孪1串，在各个不同的互素数系统中的跨距都是2，1对孪生互素数共2个正整数，故总能通得过素数2,3,5,7,11……的检验，都是有效的；
（30,210,2310,30030……互素数系统分别与2,3,5；2,3,5,7；2,3,5,7,11；2,3,5,7,11,13；……互素）
对于孪2串，在各个不同的互素数系统中的最大跨距不再相同，（当系统基数不是太大时）最小跨距都是8，2对孪生互素数共4个正整数，故总能通得过素数2,3,5,7,11……的检验，都是有效的；
对于孪3串，在各个不同的互素数系统中的最大跨距各不相同，（当系统基数不是太大时）最小跨距都是20，3对孪生互素数共6个正整数，故总能通得过素数2,3,5,7,11……的检验，都是有效的；
对于孪4串，在各个不同的互素数系统中的最大跨距各不相同，（当系统基数不是太大时）最小跨距都是32，4对孪生互素数共8个正整数，故总能通得过素数2,3,5,7,11……的检验，都是有效的；（最小的30互素数系统中的3个孪4串都能通过素数7的检验）
……
对于更大的孪生互素数串最大跨距肯定各不相同，最小跨距也不一定都再相同，其中有的孪串不再能通得过所有素数的检验，不再是有效的。
例30互素数系统中的孪7串的3#串29,31;41,43;47,49;59,61;71,73;77,79;89,91便通不过素数11和13的检验。
30系统3#孪7串模7余模11余模13余
29 1 7 3
31 3 9 5
41 6 8 2
43 1 10 4
47 5 3 8
49 0 5 10
59 3 4 7
61 5 6 9
71 1 5 6
73 3 7 8
77 0 0 12
79 2 2 1
89 5 1 11
91 0 3 0
余数缺4 不缺不缺

yangchuanju · 发表于 2025-8-21 02:41

低级孪串向高级孪串的升级（扩展）——加法：
例已知30互素数系统中的1#孪7串，能通得过素数2,3,5,7,11,13的检验，素数17,19,23……不需再检，是有效的7对孪生互素数串；
30系统1#孪7串 30 60 90 120 150 180
11 41 71 101 131 161 191
13 43 73 103 133 163 193
17 47 77 107 137 167 197
19 49 79 109 139 169 199
29 59 89 119 149 179 209
31 61 91 121 151 181 211
41 71 101 131 161 191 221
43 73 103 133 163 193 223
47 77 107 137 167 197 227
49 79 109 139 169 199 229
59 89 119 149 179 209 239
61 91 121 151 181 211 241
71 101 131 161 191 221 251
73 103 133 163 193 223 253

将30互素数系统中的1#孪7串，分别加上30,60,90,120,150,180，连同原来的一组共得到7组孪7串；
检分别用素数7,11,13检验，虽全通得过检验，但其中的6组含有与210不互素的孪生数对，用此加法仅将1个30系统中的孪7串变成1个210系统中的孪7串：
7检——7组210系统中的孪7串分别缺2,4,6,1,3,5,0；都能通过素数7的检验；
11检——7组210系统中的孪7串分别缺1,9,6,3,0,8,5；都能通过素数11的检验；
13检——7组210系统中的孪7串分别缺1,12;5,3;9,7;0,11;4,2;8,6；都能通过素数13的检验；
但第1-6组中都含有与210不互素的孪生数对，不是有效的，只有第7组有效——
191 193 197 199 209 211 221 223 227 229 239 241 251 253

yangchuanju · 发表于 2025-8-21 02:42

高级孪串向低级孪串的降级（还原）——求余法：
例欲将有效的210系统中的孪7串还原到30互素数系统，只需对该孪7串模30求其余数即可，（当后一个余数小于前一个余数时需加上一个模30）不必再用素数7,11,13检验——
191 193 197 199 209 211 221 223 227 229 239 241 251 253
11 13 17 19 29 31 41 43 47 49 59 61 71 73

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