\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

模 181 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 11, 13, 29, 37, 43, 59, 67, 73, 79, 101, 137, 139, 167 .

蔡家雄

模 113 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 31, 41, 53, 61, 83, 97, 109 .

蔡家雄

模 149 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 17, 19, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 67, 73, 103, 107, 113, 127 .

蔡家雄

模 137 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 17, 19, 37, 59, 61, 73, 101, 103, 107, 109 .

蔡家雄

模 157 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 47, 67, 71, 89, 101, 109, 113, 127 .

蔡家雄

模 173 的平方剩余奇质数 p= 13, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73, 83, 89, 109, 113,

及连续的 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167 .

蔡家雄

模 193 的平方剩余奇质数 p= 3, 7, 23, 31, 43, 59, 67, 83, 97, 101, 107, 109, 131, 137, 139, 151, 157, 179, 181, 191 .

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，

设 g4= 6*g1 或 6*g2 或 6*g3，g5= 10*g1 或 10*g2 或 10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1  ≡ 13 或 37 （mod  40），

且 g^4  ≠  1  （mod  (4P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/wc6cca11211a27e98

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...

设 g2= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....

设 g3= 5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...

设 g4= 5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4  ≠ 1 （mod  (120k+29)） ，

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w6ecf6ceb62b9f9ae

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, ......

设 g2= 5^(2d+1)=5, 125, 3125, 78125, ......

设 g3= 3*2^d= 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ......   

设 g4= 5*2^d= 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ......

设 n>=3,  P>= 5，

设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  ≡ 17 或 33（ mod  40），

且 g^(2^n)  ≠  1 （ mod  ((2^n)*P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w0c5132500e6c8daa