基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

重生888@

谢谢好友对我的耐心！我想要一个纯哈-李公式计算（单计）60个连续偶数的计算素数对；（就是把您的修正值去掉）和其偶数的实际素数对两个数据。如：100000至100060
一，纯哈-李公式计算素数对；
二，连续偶数的实际素数对。       谢谢！拜托拜托！下次不再麻烦。

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-16 01:04
谢谢好友对我的耐心！我想要一个纯哈-李公式计算（单计）60个连续偶数的计算素数对；（就是把您的修正值去 ...

   哈李计算式：
    C( 100000 ) =  .8802223               H(N)= 664.08 ； Δ=-0.18025
    C( 100002 ) =  1.585066               H(N)= 1195.87；Δ=-0.15961
    C( 100004 ) =  .6922406               H(N)= 522.28 ；Δ=-0.16702
    C( 100006 ) =  .683355                H(N)= 515.58 ； Δ=-0.18162
    C( 100008 ) =  1.323197               H(N)= 998.35 ；Δ=-0.17423
    C( 100010 ) =  .8992318               H(N)= 678.48 ；Δ=-0.18354
    C( 100012 ) =  .7338415               H(N)= 553.7  ；Δ=-0.18693
    C( 100014 ) =  1.34388                H(N)= 1014  ；  Δ=
    C( 100016 ) =  .8574401               H(N)= 646.98 ；Δ=
    C( 100018 ) =  .6768507               H(N)= 510.72 ；Δ=
    C( 100020 ) =  1.761502               H(N)= 1329.18；Δ=
    C( 100022 ) =  .7203692               H(N)= 543.58 ；Δ=
    C( 100024 ) =  .6602195               H(N)= 498.2 ； Δ=
    C( 100026 ) =  1.320571               H(N)= 996.51 ；Δ=
    C( 100028 ) =  .7046572               H(N)= 531.75 ；Δ=
    C( 100030 ) =  1.057007               H(N)= 797.65 ；Δ=
    C( 100032 ) =  1.322877               H(N)= 998.3  ；Δ=
    C( 100034 ) =  .73368                 H(N)= 553.68 ；Δ=
    C( 100036 ) =  .6701483               H(N)= 505.74 ；Δ=
    C( 100038 ) =  1.320413               H(N)= 996.49 ；Δ=
    C( 100040 ) =  .9180937               H(N)= 692.88 ；Δ=
    C( 100042 ) =  .6601799               H(N)= 498.24 ；Δ=
    C( 100044 ) =  1.588411               H(N)= 1198.81 ；Δ=
    C( 100046 ) =  .6601799               H(N)= 498.26 ；Δ=
    C( 100048 ) =  .7407585               H(N)= 559.08 ；Δ=
    C( 100050 ) =  1.912582               H(N)= 1443.54 ；Δ=
    C( 100052 ) =  .660193                H(N)= 498.29 ；Δ=
    C( 100054 ) =  .6992657               H(N)= 527.79 ；Δ=
    C( 100056 ) =  1.470928               H(N)= 1110.25 ；Δ=
    C( 100058 ) =  .7929775               H(N)= 598.55 ；Δ=
    C( 100060 ) =  .8803982               H(N)= 664.54 ；Δ=
time start =14:14:46       time end =14:19:15  （我把哈李素对计算程序加上了计时语句重新计算一下）


  真值与我的计算式
  S( 100000 ) =  810      ;Xi(N)≈ 790.56       δxi( 100000 )≈-0.024  
  S( 100002 ) =  1423     ;Xi(N)≈ 1423.03     δxi( 100002 )≈ 0
  S( 100004 ) =  627      ;Xi(N)≈ 621.17        δxi( 100004 )≈-0.009298  
  S( 100006 ) =  630      ;Xi(N)≈ 613.39        δxi( 100006 )≈-0.02637  
  S( 100008 ) =  1209     ;Xi(N)≈ 1185.92     δxi( 100008 )≈-0.01909
  S( 100010 ) =  831      ;Xi(N)≈ 807.7          δxi( 100010 )≈-0.028039  
  S( 100012 ) =  681      ;Xi(N)≈ 658.86        δxi( 100012 )≈-0.032511  
  S( 100014 ) =  1235     ;Xi(N)≈ 1207.12     δxi( 100014 )≈-0.022575  
  S( 100016 ) =  772      ;Xi(N)≈ 770.2          δxi( 100016 )≈  
  S( 100018 ) =  635      ;Xi(N)≈ 607.47        δxi( 100018 )≈
  S( 100020 ) =  1602     ;Xi(N)≈ 1581.38     δxi( 100020 )≈  
  S( 100022 ) = 674       ;Xi(N)≈ 646.94        δxi( 100022 )≈  
  S( 100024 ) =  559      ;Xi(N)≈ 593.04        δxi( 100024 )≈  
  S( 100026 ) =  1232     ;Xi(N)≈ 1186.09     δxi( 100026 )≈  
  S( 100028 ) =  627      ;Xi(N)≈ 632.59        δxi( 100028 )≈  
  S( 100030 ) =  972      ;Xi(N)≈ 948.9         δxi( 100030 )≈  
  S( 100032 ) = 1212      ;Xi(N)≈ 1186.15     δxi( 100032 )≈  
  S( 100034 ) = 670       ;Xi(N)≈ 658.98        δxi( 100034 )≈  
  S( 100036 ) = 594       ;Xi(N)≈ 602.06        δxi( 100036 )≈  
  S( 100038 ) = 1191      ;Xi(N)≈ 1186.21     δxi( 100038 )≈  
  S( 100040 ) = 815       ;Xi(N)≈ 824.84        δxi( 100040 )≈  
  S( 100042 ) = 604       ;Xi(N)≈ 593.12        δxi( 100042 )≈
  S( 100044 ) = 1475       ;Xi(N)≈ 1423.52    δxi( 100044 )≈
  S( 100046 ) = 614       ;Xi(N)≈ 593.14        δxi( 100046 )≈  
  S( 100048 ) = 658       ;Xi(N)≈ 665.56        δxi( 100048 )≈  
  S( 100050 ) = 1724      ;Xi(N)≈ 1718.46     δxi( 100050 )≈  
  S( 100052 ) = 612       ;Xi(N)≈ 593.17        δxi( 100052 )≈  
  S( 100054 ) = 626       ;Xi(N)≈ 628.07        δxi( 100054 )≈  
  S( 100056 ) = 1352      ;Xi(N)≈ 1318.2       δxi( 100056 )≈  
  S( 100058 ) = 722       ;Xi(N)≈ 711.84        δxi( 100058 )≈  
  S( 100060 ) = 794       ;Xi(N)≈ 790.95        δxi( 100060 )≈  
  time start =14:32:39      end time =14:32:40

(同样的偶数，我的计算式用时1秒，而哈李式用时4分29秒。
原因：哈李公式计算拉曼扭扬系数时是计算＜N的全部素数，我是计算＜√N的全部素数。在1楼我已经指出的为何要改进的原因）
   

重生888@

谢谢，谢谢！收藏了。

重生888@

再次感谢愚工先生辛苦计算的数据！初步计算，我的公式计算值小于哈-李公式（单计）计算值，波动趋势一致！我小于哈，哈小于真值，三个波动趋势一致！
       偶数 素数对真值                  H-L值               W计算值
D（100000）=810                       664                   628
D（100002）=1423                    1195                  943
G（100004）=627                       522                  471
D（100006）=630                       515                  471
......
具体另行发贴，欢迎指导，谢谢！                  

重生888@

愚工先生的计算式精确，为您点赞！修正系数最好保密！

重生888@

拉曼纽扬系数没有吴代业系数简单好用。拉曼纽扬系数要分解质因数，确定素数个数，且分前后大小；连乘积之复杂，难度可想而知！吴代业四个系数：5/3  5/6  5/4  5/8，一目了然，简单至极！两厢效果如何呢？感谢愚工先生提供了100000至100060个连续偶数的哈-李公式（单计）计算数据，下面进行比较：
偶数素数对真值                        哈-李公式（单计）计算值                  吴代业公式计算值
G(100000) = 810                               664                                               628
G(100002) = 1423                             1195                                              943
G(100004) = 627                               522                                               471
G(100006) = 630                               515                                               471
G(100008) = 1209                             998                                               943
G(100010) = 831                               678                                               628
G(100012) = 681                               553                                               471
G(100014) = 1235                             1014                                              943
G(100016) = 772                               646                                               628
G(100018) = 635                               510                                               471
G(100020) = 1602                             1329                                              1258
G(100022) = 674                               543                                               471
G(100024) = 599                               498                                               471
G(100026) = 1232                             996                                               943
G(100028) = 627                               531                                               471
G(100030) = 972                               797                                               628
G(100032) = 1212                             998                                               943
G(100034) = 670                              553                                                471
.......待续

从以上19个连续偶数来看，吴比哈-李计算值小     哈-李比真值小；波动趋势一致！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-17 01:48
拉曼纽扬系数没有吴代业系数简单好用。拉曼纽扬系数要分解质因数，确定素数个数，且分前后大小；连乘积之复 ...

拉曼纽扬系数反映了实际偶说含有的素数因子的真实情况，而你的4个分组则不能正确的反映这一点。
因此运用拉曼纽扬系数则可能做到对连续偶数的素对计算值的精度比较高。
而你的4个分组只能对部分偶数有效，不能对连续偶数都达到计算精度比较高。
而在普遍使用计算机进行程序化计算的情况下，你用四个系数进行计算，也谈不上什么简单好用，反而多了个分组的判断。

我使用拉曼纽扬系数的程序计算：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  S( 100000 ) = 810       ;Xi(M)≈ 778.7          δxi( 100000 )≈-0.03864  (t2=  1.17206 )
  S( 100002 ) = 1423      ;Xi(M)≈ 1401.68        δxi( 100002 )≈-0.01498  (t2=  1.17206 )
  S( 100004 ) = 627       ;Xi(M)≈ 611.85         δxi( 100004 )≈-0.02416  (t2=  1.172059 )
  S( 100006 ) = 630       ;Xi(M)≈ 604.19         δxi( 100006 )≈-0.04097  (t2=  1.172059 )
  S( 100008 ) = 1209      ;Xi(M)≈ 1168.12        δxi( 100008 )≈-0.03381  (t2=  1.172059 )
  S( 100010 ) = 831       ;Xi(M)≈ 795.58         δxi( 100010 )≈-0.04262  (t2=  1.172059 )
  S( 100012 ) = 681       ;Xi(M)≈ 648.98         δxi( 100012 )≈-0.04702  (t2=  1.172059 )
  S( 100014 ) = 1235      ;Xi(M)≈ 1189.01        δxi( 100014 )≈-0.03724  (t2=  1.172059 )
  S( 100016 ) = 772       ;Xi(M)≈ 758.64         δxi( 100016 )≈-0.01731  (t2=  1.172058 )
  S( 100018 ) = 635       ;Xi(M)≈ 598.35         δxi( 100018 )≈-0.05772  (t2=  1.172058 )
  S( 100020 ) = 1602      ;Xi(M)≈ 1557.65        δxi( 100020 )≈-0.02768  (t2=  1.172058 )
  S( 100022 ) = 674       ;Xi(M)≈ 637.23         δxi( 100022 )≈-0.05455  (t2=  1.172058 )
  S( 100024 ) = 599       ;Xi(M)≈ 584.14         δxi( 100024 )≈-0.02481  (t2=  1.172058 )
  S( 100026 ) = 1232      ;Xi(M)≈ 1168.29        δxi( 100026 )≈-0.05171  (t2=  1.172058 )
  S( 100028 ) = 627       ;Xi(M)≈ 623.1          δxi( 100028 )≈-0.00622  (t2=  1.172058 )
  S( 100030 ) = 972       ;Xi(M)≈ 934.66         δxi( 100030 )≈-0.03842  (t2=  1.172057 )
  S( 100032 ) = 1212      ;Xi(M)≈ 1168.35        δxi( 100032 )≈-0.03606  (t2=  1.172057 )
  S( 100034 ) = 670       ;Xi(M)≈ 649.09         δxi( 100034 )≈-0.03121  (t2=  1.172057 )
  S( 100036 ) = 594       ;Xi(M)≈ 593.03         δxi( 100036 )≈-0.00163  (t2=  1.172057 )
  S( 100038 ) = 1191      ;Xi(M)≈ 1168.41        δxi( 100038 )≈-0.01897  (t2=  1.172057 )
  S( 100040 ) = 815       ;Xi(M)≈ 812.47         δxi( 100040 )≈-0.00310  (t2=  1.172057 )
  S( 100042 ) = 604       ;Xi(M)≈ 584.22         δxi( 100042 )≈-0.03275  (t2=  1.172056 )
  S( 100044 ) = 1475      ;Xi(M)≈ 1402.16        δxi( 100044 )≈-0.04938  (t2=  1.172056 )
  S( 100046 ) = 614       ;Xi(M)≈ 584.24         δxi( 100046 )≈-0.04847  (t2=  1.172056 )
  S( 100048 ) = 658       ;Xi(M)≈ 655.58         δxi( 100048 )≈-0.00368  (t2=  1.172056 )
  S( 100050 ) = 1724      ;Xi(M)≈ 1692.67        δxi( 100050 )≈-0.01817  (t2=  1.172056 )
  S( 100052 ) = 612       ;Xi(M)≈ 584.27         δxi( 100052 )≈-0.04531  (t2=  1.172056 )
  S( 100054 ) = 626       ;Xi(M)≈ 618.65         δxi( 100054 )≈-0.01174  (t2=  1.172055 )
  S( 100056 ) = 1352      ;Xi(M)≈ 1298.42        δxi( 100056 )≈-0.03963  (t2=  1.172055 )
  S( 100058 ) = 722       ;Xi(M)≈ 701.16         δxi( 100058 )≈-0.02886  (t2=  1.172055 )
  S( 100060 ) = 794       ;Xi(M)≈ 779.08         δxi( 100060 )≈-0.01880  (t2=  1.172055 )
  time start =19:25:12, time end =19:25:12

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-17 00:32
愚工先生的计算式精确，为您点赞！修正系数最好保密！

前面我已经说过，修正系数t1存在着一些不足之处，因此对比较大的偶数，计算值相对误差绝对值逐渐增大。比如51、52楼的偶数的素对计算值那样。

因此我对此作了改进。这里我使用系数t2进行的计算。可以看到，对M=10^36 的连续偶数的素数对的计算值，计算精度比前面的计算值有了明显的提高，而且相对误差的波动也小。（修正系数t2的计算式就不公开了）

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

n= 36          M=2^n= 68719476736
  S( 68719476736 ) = 79287664  ;Xi(M)≈ 78982220.05  δxi( 68719476736 )≈-0.003852  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476738 ) = 181107318 ;Xi(M)≈ 180443457.3  δxi( 68719476738 )≈-0.003666  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476740 ) = 106592357 ;Xi(M)≈ 106205286.73 δxi( 68719476740 )≈-0.003631  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476742 ) = 95128940  ;Xi(M)≈ 94778665.49  δxi( 68719476742 )≈-0.003682  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476744 ) = 161242396 ;Xi(M)≈ 160637899.54 δxi( 68719476744 )≈-0.003749  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476746 ) = 80661701  ;Xi(M)≈ 80367876.17  δxi( 68719476746 )≈-0.003627  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476748 ) = 86670378  ;Xi(M)≈ 86349326.43  δxi( 68719476748 )≈-0.003704  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476750 ) = 211661737 ;Xi(M)≈ 210881468.39 δxi( 68719476750 )≈-0.003686  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476752 ) = 79393695  ;Xi(M)≈ 79105823.23  δxi( 68719476752 )≈-0.003626  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476754 ) = 89535668  ;Xi(M)≈ 89203451.99  δxi( 68719476754 )≈-0.003710  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476756 ) = 190252730 ;Xi(M)≈ 189557331.02 δxi( 68719476756 )≈-0.003655  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476758 ) = 81464393  ;Xi(M)≈ 81155690.34  δxi( 68719476758 )≈-0.003789  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476760 ) = 117695353 ;Xi(M)≈ 117266639.37 δxi( 68719476760 )≈-0.003643  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476762 ) = 158663414 ;Xi(M)≈ 158075285.8  δxi( 68719476762 )≈-0.003707  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476764 ) = 79659831  ;Xi(M)≈ 79360125     δxi( 68719476764 )≈-0.003762  (t2=  1.084056 )
  S( 68719476766 ) = 79853669  ;Xi(M)≈ 79563332.5   δxi( 68719476766 )≈-0.003636  (t2=  1.084056 )
  time start =20:20:13       time end =20:36:59

重生888@

祝贺愚工先生越来越取得好好效果！我的偶尾数，也就是30为模，特好识别。

愚工688

重生888@ 发表于 2019-1-18 06:06
祝贺愚工先生越来越取得好好效果！我的偶尾数，也就是30为模，特好识别。

即使是30*N一类的偶数，也是具有不同的波动量，因此仅仅用一个系数是不能够做到高精度计算的。
单单含有因子30，则素因子系数为：2*（5-1）/（5-2）=2.6667；
这样的系列等差偶数中，每7个项中，会有一个偶数能够被7整除，此时该偶数的波动系数为3.2；
这样的系列等差偶数中，每11个项中，会有一个偶数能够被11整除，此时该偶数的波动系数为2.963；
这样的系列等差偶数中，每13个项中，会有一个偶数能够被13整除，此时该偶数的波动系数为2.909；
……
若遇到能够同时含有2、3个大于5的素因子情况，则影响更大；
因此使用一个参数 是不能够对30*N一类的偶数的素数对数量的计算，达到良好的计算精度的目的的。

举例：9699690000含有≤19的全部素因子，而以下的偶数都含有素因子3、5。我的计算的相对误差的波动范围很小。
  Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  S( 9699690000 ) = 58158625;   Xi(M)≈ 58100350.09    δxi( 9699690000 )≈-0.001002  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690030 ) = 36745184   ;Xi(M)≈ 36705378.52    δxi( 9699690030 )≈-0.001083  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690060 ) = 36100415   ;Xi(M)≈ 36061505.67    δxi( 9699690060 )≈-0.001078  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690090 ) = 35404878   ;Xi(M)≈ 35367076.53    δxi( 9699690090 )≈-0.001068  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690120 ) = 35406531   ;Xi(M)≈ 35367076.64    δxi( 9699690120 )≈-0.001114  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690150 ) = 35504410   ;Xi(M)≈ 35461512.34    δxi( 9699690150 )≈-0.001208  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690180 ) = 37095033   ;Xi(M)≈ 37051221.44    δxi( 9699690180 )≈-0.001181  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690210 ) = 43574903   ;Xi(M)≈ 43528707.9      δxi( 9699690210 )≈-0.001060  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690240 ) = 35412739   ;Xi(M)≈ 35367077.08    δxi( 9699690240 )≈-0.001289  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690270 ) = 36102537   ;Xi(M)≈ 36064377.93    δxi( 9699690270 )≈-0.001057  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690300 ) = 35443256   ;Xi(M)≈ 35406981.08    δxi( 9699690300 )≈ （不算了） (t2=  1.095215 )
  S( 9699690330 ) = 40224539   ;Xi(M)≈ 40176374.04    δxi( 9699690330 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690360 ) = 35646616   ;Xi(M)≈ 35604440.59    δxi( 9699690360 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690390 ) = 38648457   ;Xi(M)≈ 38611112.39    δxi( 9699690390 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690420 ) = 43401340   ;Xi(M)≈ 43346825.96    δxi( 9699690420 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690450 ) = 35604840   ;Xi(M)≈ 35564659.28    δxi( 9699690450 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690480 ) = 35423682   ;Xi(M)≈ 35383964.37    δxi( 9699690480 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690510 ) = 37940489   ;Xi(M)≈ 37896916.1     δxi( 9699690510 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690540 ) = 35838180   ;Xi(M)≈ 35800597.73    δxi( 9699690540 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690570 ) = 37889521   ;Xi(M)≈ 37841678.02    δxi( 9699690570 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690600 ) = 37335736   ;Xi(M)≈ 37297887.91    δxi( 9699690600 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690630 ) = 42493418   ;Xi(M)≈ 42440492.28    δxi( 9699690630 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690660 ) = 39580148   ;Xi(M)≈ 39535364.31    δxi( 9699690660 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690690 ) = 35510091   ;Xi(M)≈ 35469000.77    δxi( 9699690690 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690720 ) = 35556729   ;Xi(M)≈ 35516726.4     δxi( 9699690720 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690750 ) = 36626404   ;Xi(M)≈ 36586632.64    δxi( 9699690750 )≈  (t2=  1.095215 )
  S( 9699690780 ) = 38771294   ;Xi(M)≈ 38725745.71    δxi( 9699690780 )≈  (t2=  1.095215 )
  time start =15:35:14, time end =15:39:13