关于勾股数计算的两个新公式

柳条帽安全

我的公式早就可以求得全部勾股数组了啊。

zy1818sd

那就比较一下，看哪个公式最简单，求的更快，哪个公式更有理 论特色。

朱明君

没有一个公式会求出全部勾股数组. 大家各自所说的公式,其实只能求出勾股数组树分叉再分叉的一小部分数组

数想记

任何自然数除1与2外都能构成勾股数组！你要我可以给你一个！a的3次方等于b。c。d。的三次方的通解公式也有！但问题是中国数学的悲哀是等级制与金钱制！平民有民女早就强奸了！大家闺优又都是猪八戒

朱明君

看不懂你在说什么， 你的a的3次方等于b这个公式也只能求出少量的数组

zy1818sd

能求得部分弓股数的公式多得很，能求出全部勾股数的公式目前只有一个。
希望能有人给出第二个。

朱明君

zy1818sd 发表于 2016-5-17 02:45
能求得部分弓股数的公式多得很，能求出全部勾股数的公式目前只有一个。
希望能有人给出第二个。

请你用你的第一公式演示下面偶数60为a求bc的方法和步骤    记住只能用一个公式

60         91        109
60        144        156
60        175        185
60        221        229
60        297        303
60        448        452
60        899        901

zy1818sd

《中国科技论文在线发文》


                                                                                 关于勾股数计算的两个新公式
                                                                                            庄 严 庄宏飞


摘要：本文提出并证明了“勾股数通解公式”、“勾股数再生公式”两个新公式，实现了全部勾股数的定a直求，这种只用算术运算就能得到三元二次方程a^2+b^2=c^2有全部整数解的方法，用简单的算术计算就能连续得出任意大互素勾股数的方法，简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。
关键词:勾股数；勾股数通解公式；勾股数再生公式；增元求解法；同差直角三角形；




公式1.    勾股数增元定a直求公式；（勾股数通解公式）
在以下a、b、c、Q关系中，当取定a值后，如Q值使b=(a^2-Q^2)÷2Q是整数，则a、b、c必是勾股数；且由a^2标准分解因数全排列重组条件得到的不大于a的全部Q值可求得含a全部勾股数；
``````````a≥ 3、4、5 …
````````{  b=（a^2-Q^2）÷2Q
``````````c= b+Q
这里，使上式中(a^2-Q^2)÷2Q的值恒为整数的Q值条件是：
若a为≥3的奇数，在a^2的标准分解因数（包括1）全排列重组乘积中，取小于a的因数积为Q。
若a为≥4的偶数，在a^2的标准分解因数（包括1）中去掉一个2后为有效因数，在有效因数全排列重组乘积中，取小于a的偶数因数积为Q。

实例．计算a=60时全部勾股数 ？
解：根据公式1，由Q的取值方法分解a^2得到：60^2=1^2×2^4×3^2×5^2，去掉一个2后有效因数为1^2×2^3×3^2×5^2，取这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=2^2=4，Q=2×3=6，Q=2^3=8，Q=2×5=10，Q=2^2×3=12，Q=2×3^2=18，Q=2^2×5=20，Q=2^3×3=24，Q=2×3×5=30，Q=2^2×3^2=36，Q=2^3×5=40，Q=2×5^2=50；
利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；c= b+ Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899；  c= 899+ 2；     所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448；   c= 448+ 4；    所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297；   c= 297+ 6 ；   所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221；   c= 221+ 8 ；   所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c= 175+ 10； 所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c= 144+ 12； 所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91；  c= 91+ 18 ； 所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80； c= 80+ 20；   所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63； c= 63+ 24 ；  所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45； c= 45+ 30 ；  所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32； c= 32+36 ；   所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25； c= 25+ 40 ；  所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11； c= 11+ 50 ；  所以有：60^2+11^2=61^2
  增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 … 时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全部平方整数解。

公式2.   勾股数再生公式；
如（a，b，c）是勾股数，满足a^2+b^2=c^2关系，如有：
````A=2(a+c)+b
``{  B=2(b+c)+a
````C=2(a+b)+3c
则这时的（A，B，C）也勾股数，必满足A^2+B^2=C^2关系；且此时的（a，b，c）（A，B，C）具有b-a与B-A同差特性，具有相同的互素与不互素特性及同因数性质；

实例. 已知勾股数（5，12，13）；（5，12，13）；利用勾股数再生公式求出新的勾股数？
由（5，12，13）是勾股数，满足3^2+4^2=5^2关系，
````a=3
即｛ b=4
````c=5

``````A=2a+2c+b=20
得到｛ B=2b+2c+a=21
``````C=2a+2b+3c=29
所以数组（20，21，29）是勾股数；满足20^2+21^2=29^2关系；

由（5，12，13）是勾股数，满足5^2+12^2=13^2关系，
````a=5
即｛ b=12
````c=13

``````A=2a+2c+b=48
得到｛ B=2b+2c+a=55
``````C=2a+2b+3c=73
所以数组（48，55，73）是勾股数；满足48^2+55^2=73^2关系；

zy1818sd

勾股数两个新公式2007年通过辽宁省自然科学奖专家评审团答辨，被评为当年辽宁省自然科学三等奖。

朱明君