|
|
无穷或无限的概念问题是争论了几千年的问题。A.鲁宾逊 讲了这个过程. 但他 并提出无穷大、无穷小是定数的做法是错误的。现行教科书 提出 “无尽小数是实数的 定义”是错误的。唯物辩证逻辑方法是必须的。
无尽小数与实数关系的应有的改革与说明
现行数学教科书，大都使用余元希等学者的《初等代数研究》中 “称 十进小数α=a0.a1a2……an…… 实数。 ”的定义。这个实数定义的实质是使用了“无穷集合是完成了的整体”的实无穷观点定义，这个定义是不圆满的、不完善的，从联系实际应用来看，必须把无尽小数看作康托儿实数理轮中基本数列。关于无尽小数的提出,,笔者举出了下边的例子。由于线段或其它物体的绝对准三等分无法做到，所以笔者称分数1/3为理想实数，为了寻求1/3的十进小数表达式，需要在十进小数制度下进行1被3除的除法运算，这时，第一步得到1/3的针对误差界1/10的不足近似值0.3，与过剩近似值0.4，第二步得到1/3的针对误差界1/10^2的不足近似值0.33，与过剩近似值0.34，对这两步进行分析，可以看出，这个除法的每一步都是余1的重复循环计算，是永远除不尽的工作， 只能分析的得出：如果无限进行下去，可以得到针对误差界序列{1/10^n}的不足近似值无穷数列{0.3，0.33，0.333，……}与过剩近似值无穷数列{0.4，0.34，0.334，……}，这两个数列都是康托儿实数理论中的基本数列，根据数列极限定义，这两个数列的极限都是1/3。其中前一个数列可以简写为0.333……，也可以依照习惯称它为无尽小数，但根据前边叙述，它不是一个定数而是无穷数列性质的变数，变数不能等于定数，所以现行教科书中的等式0.333……=1/3 不成立；成立的应当是极限性等式lim n→∞{0.3，0.33，0.333，……}=1/3 或写作limn→∞ 0.33……3(n个3)=1/3 或写作limn→∞ 0.33……=1/3 或写作0.333，……→1/3；也可以写作全能近似等式0.333，……~1/3 后者表示一系列近似等式 1/3≈0.3；1/3≈0.33；1/3≈0.333；……。上述无穷数列{0.3，0.33，0.333，……}中的数都是理想实数1/3 近似值，而这个无穷数列是它的全能近似值，理想实数与其近似值之间具有相互依存的对立统一关系，而全能近似值数列是联系两者的桥梁，将数列取极限得理想实数，将数列在适当处截断得到它的适当的近似值；绝对准理想实数与其近似值各有各的优点与独特的应用。根号2与圆周率的无尽小数也是如此。使用无穷数列阐述 无尽小数与实数理论的方法就是使用唯物辩证法。恩格斯指出“笛卡儿的变数是数学中的转折点，因此运动和辩证法便进入了数学领域”。下边提出无尽小数与实数理论的十点说明。
说明一：a0.a1a2……an…… 是永远写不到底的事物，它不是定数，它是随着小数点后的数字的无限增加而增大着的变数；如果不把它分解为提出它的无穷数列：a0.a1， a0.a1a2， a0.a1a2a3，…… ， a0.a1a2……an，…… 就没有用处，分解之后的这个数列的通项 a0.a1a2……an 是实数α的准确到1/10^n的以十进位有尽小数（有理数的一种）表示的不足近似值，就可在无尽小数永远写不到底的事实下，正确理解无尽小数的实用意义。例如：近似值是必须使用的（例如：1斤西瓜三等分，无法称出0.333……斤，使用0.33斤代表1/3斤以了）。至于这个数列，它是康托尔实数理论中的以有理数为项的基本数列，这个数列的极限才是实数α，从这个数列中可以找到满足任意小误差界的实数α的近似值，所以，应当称这个数列为实数α的全能近似值数列。所以，笔者称：无尽小数表达式a0.a1a2……an…… 是康托儿基本无穷数列：a0.a1， a0.a1a2， a0.a1a2a3，……的简写，它的极限才是理想性质的实数。这个认识是必要的：因为：第一，由于无尽小数没有最后一位，无尽小数的四则运算无法使用有尽小数的四则运算法则，无尽小数的四则运算需要把它看作收敛数列逐项四则运算得出收敛数列；第二，e^√2需要使用√2的无穷数列1.4，1.41，1.414，……去把它看作有意义的分数幂序列的极限；第三，研究二项式定理的异于自然数的实数幂时，需要把它看作对于自然数n的泰勒多项式的当n趋向于无穷的极限。
说明二：根据十进小数是分母为10，100，1000，……自然数之类的分数的定义，表达式a0.a1a2……an……不是十进小数，因为：它的分母不能表示为 10，100，1000，……自然数。如果一定要把它表示为分数，那么它的分母就不是自然数集合N中自然数，而必须是 非标准分析中高级非标准算术模型*N中的无限大自然数，笔者认为：自然数集合N中的自然数是无穷多的、是无上界的，这个性质与非标准分析中高级非标准算术模型*N的提出是不相容的。所以，不能称表达式a0.a1a2……an……为十进小数。在自然数集合N中的自然数是无穷多的、是无上界的性质下，就可以说：表达式a0.a1a2……an……为无尽小数。小数点后的数字依次对应于自然数1，2，3，……，n,n+1,……的、以有穷自然数为项的无有终了的、无有穷尽的数列；而且，也因为这一点，无尽小数不是定数；也不是十进小数，而是以有尽位十进小数为项的无穷数列 。
说明三：仅仅写上几个或几十个数字 加上……，不算确定的实数表达式。例如，有人写出的表达式4.277323.......，就不能是确定的实数。事实上，如果把 这个表达式后边…… 看作 无限循环的9，则他的表达式的极限是有尽小数 4.277324， 如果把 这个表达式后边…… 看作1后边加上 无限循环的9 ，则他的表达式的极限是有尽小数4.2773232； 也可以提出它的极限是无理数的情形。总之，对 ……的不同的意义，就有不同结果。必须知道：所有无尽小数a0.a1a2……an…… 必须知道它是针对确定的实数α与误差界序列{1/10^n}的，通项 pn/10^n（pn为正整数）满足条件 pn/10^n<α≤ (pn+1)/10^n, 即 满足条件 ∣pn/10^n-α∣≤ 1/10^n, 的 有尽小数pn/10^n为项项的无穷数列{pn/10^n}。
说明四：笔者认为实数理论是反映现实数量大小及其关系的理论；虽然现实数量的大小具有可变性，但在足够小变化可以忽略不计的情况下，可以认为它们的大小是确定的。 为此，笔者提出的实数定义是：
定义11（理想实数定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。例如，一个线段长度的三分之一，每一份的长度可以用有理数1/3表示；实数中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数。例如：以1位边长的直角三角形的斜边长可以用√2表示，这个符号就是无理数；直径为1的圆周长可以用π表示，这个符号也是无理数，这个符号还表示任意圆的圆周长L与其直径D的比，所以又称它为圆周率。
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2018-5-19 18:38
显身卡
楼主