[推荐]非标准分析

jzkyllcjl

[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2012/12/15 10:15pm 第 2 次编辑]

牛顿、莱布尼兹创立微积分的时候，就存在着“无穷小是什么呢？”的争论，后来经过柯西（Cauchy）等学者的改进，现行的微积分学可以说是“以极限理论为基础的不用无穷小数的微积分学”．但是，1973年G哥德尔教授在鲁滨逊（Abraham Robinson）的《非标准分析》的再版序言中讲到：“不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析”。非标准分析是一部提出“实无穷小数”并使用“实无穷小数”的数学分析。非标准分析中的实无穷小数是一个常数，其中正实无穷小数是“大于0而小于一切正实数”的超实数，这种数是一般教科书中没有的数。因此，每一个微积分学的编者与教师都必须认真研究一下：“无穷小究竟是什么？”的问题．（以上是我第十一章的序言）

任在深

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/15 10:09pm 发表的内容：
牛顿、莱布尼兹创立微积分的时候，就存在着“无穷小是什么呢？”的争论，后来经过柯西（Cauchy）等学者的改进，现行的微积分学可以说是“以极限理论为基础的不用无穷小数的微积分学”．但是，1973年G哥德尔教授　...

     因为 n→∞，n是无穷大，
     所以 n→∞,1/n是无穷小！（一维数---线段）
    因为 n→∞, n²是无穷大，
    所以 n→∞,1/n²是无穷小。（二维数----面积）
   证毕。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/15 09:11pm 发表的内容：
但是，{1/n} 中没有最后一个数！

很好。知道为什么没有最后一个数吗？
能够理解如果有人（不管什么理由）偏要说有这么一个数的话，它会具有什么性质吗？

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2012/12/16 04:15am 第 1 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/15 10:05pm 发表的内容：
你能把无尽小数0.333……中的3写完吗？写不完的事实应当承认。

【写不完】这话没有实践性。实践只能告诉你还没有写完，不能告诉你能不能写完。
当你说写不完的时候，你已经使用了实无穷。
写不完对一个有正常神智的人来说是一目了然的，也是没有关系的事情。不写完也不会影响 0.333...的值。它就是 1/3. 不过对弱智的人，多写几个3好像心里踏实些，写不完就不知所措了。这个病不好治。

牛顿、莱布尼兹创立微积分的时候，就存在着“无穷小是什么呢？”的争论，后来经过柯西（Cauchy）等学者的改进，现行的微积分学可以说是“以极限理论为基础的不用无穷小数的微积分学”．但是，1973年G哥德尔教授在鲁滨逊（Abraham Robinson）的《非标准分析》的再版序言中讲到：“不论从哪方面看，非标准分析将会成为未来的数学分析”。非标准分析是一部提出“实无穷小数”并使用“实无穷小数”的数学分析。非标准分析中的实无穷小数是一个常数，其中正实无穷小数是“大于0而小于一切正实数”的超实数，这种数是一般教科书中没有的数。因此，每一个微积分学的编者与教师都必须认真研究一下：“无穷小究竟是什么？”的问题．

这段话还通。只是搞标准分析的人不需要这种实无穷小，也不需要研究这种无穷小究竟是什么的问题。
你的无穷观是胡扯，自打耳光的东西，你一方面说自然数集没有完成，又说不清谁在‘完成’它，又拿不出证据说它没有完成，更说不清现在完成到哪里了。这本质上是出于地球离开你的主观感受就不存在的唯心主义。实无穷论者则一开始就承认自然数不是人用书写或者其他办法一个接一个地构建的，而是一个超越庸俗实践的理想的逻辑构成。即满足一组公理的数学元素的集合，其存在性和确定性（已完成，或说完成了）都属于公理部分，跟实践无关。
就算所有的人都来构造自然数，一人一秒钟造10个，人类与宇宙同寿，充满宇宙，那么所能构造到的自然数还是有个有限数，因为宇宙并不万寿无疆，其半径也是有限。所以自然数和许多其它数学对象一样，是非实践的，理想的，纯逻辑的，也是无需你担心就在那里供使用的。这就是广大数学家，数学爱好者的共识。从柏拉图以来，久经考验。
不错，自然数有实践意义，但这并不证明它是实践的产物。也许人们对自然数的认识跟实践有关，但一切关于自然数的理论（数论的主干）都不是从实践来的，可以说实践基本上只有被指导的分。所以尽管你打着实践的旗号，其实是个主观唯心论者，没有实事求是的勇气，一旦真要用到无穷，只好偷偷把实无穷的东西接过来。所以唯你这种人为难养也。又要潜无穷的名，又要靠实无穷过日子。
在你的潜无穷观点下，大部分数论问题都是没有意义的。例如哥猜就没有意义，因为其陈述（像费马猜想一样）就带着实无穷的烙印（关乎无穷多自然数的命题）。
劝你别使劲作数学的败类了。考虑保持晚节。

jzkyllcjl

下面引用由elimqiu在 2012/12/15 07:04pm 发表的内容：
这段话还通。只是搞标准分析的人不需要这种实无穷小，也不需要研究这种无穷小究竟是什么的问题。
你的无穷观是胡扯，自打耳光的东西，你一方面说自然数集没有完成，又说不清谁在‘完成’它，又拿不出证据说它没　...

第一，非标准分析与标准分析不同。究竟谁是谁非需要搞清楚！
第二，公理不能违背实践。必须承认无穷集合是不能完成的集合，否则就存在无法解决的连续统假设的大难题。

jzkyllcjl

下面引用由zighouse在 2012/12/15 11:37pm 发表的内容：
很好。知道为什么没有最后一个数吗？
能够理解如果有人（不管什么理由）偏要说有这么一个数的话，它会具有什么性质吗？

因为自然数是无有穷尽的多，所以无穷数列{1/n}中的 1/n没有最后一个数。

elimqiu

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/16 11:11am 发表的内容：
第一，非标准分析与标准分析不同。究竟谁是谁非需要搞清楚！
第二，公理不能违背实践。必须承认无穷集合是不能完成的集合，否则就存在无法解决的连续统假设的大难题。

它们有点像不同的几何，没有谁是谁非的问题。
只有实践顺从公理的分，数学本质上是超越实践的。这是因为实践只能是极度有限的因而是片面的。在处理无穷问题时，数学必须藐视实践。另外碰到你这种没有效率的人去实践，就更惨。

zighouse

下面引用由jzkyllcjl在 2012/12/16 11:16am 发表的内容：
因为自然数是无有穷尽的多，所以无穷数列{1/n}中的 1/n没有最后一个数。

嗯。可怜可悲的阿喀琉斯哟，一抬脚，前面已是无尽的深渊，孤胆的英雄始终跨不出一步之遥，他的脚跟最终也成为他致命的伤。

jzkyllcjl

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