[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

最密4生素数        0        2        6        8       
中项置零        -4        -2        2        4       
求出逆元        4        2        -2        -4       

中项置零是折中方案，比其他任何设置都管用，而实际上可以任意设置。                                       
最密5生素数        0        2        6        8        12
中项置零        -6        -4        0        2        6
求出逆元        6        4        0        -2        -6

内部合成        6        4        0        -2        -6
4        10        8        4        2        -2
2        8        6        2        0        -4
-2        4        2        -2        -4        -8
-4        2        0        -4        -6        -10

相对余数        统计2
10        1
8        2
6        1
4        2
2        4
0        2
-2        2
-4        3
-6        1
-8        1
-10        1
合计        20

1,1,4,5                涉及到11个剩余类

素数        2        3        5        7        11        13
4        0        1        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
-4        0        2        1        3        7        9
未占剩余类        1        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        1        1        1
未占剩余类        申        占        申        6        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        8        7
未占剩余类        子        占        子        占        10        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        10
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        12

素数        2        3        5        7        11        13
6        0        0        1        6        6        6
4        0        1        4        4        4        4
0        0        0        0        0        0        0
-2        0        1        3        5        9        11
-6        0        0        4        1        5        7
未占剩余类        1        2        2        2        1        1
未占剩余类        未        占        未        3        2        2
未占剩余类        申        占        申        占        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        7        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        8        8
未占剩余类        亥        占        亥        占        10        9
未占剩余类        子        占        子        占        子        10
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        12
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        占
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        占
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        占
未占剩余类        巳        占        巳        占        巳        占
未占剩余类        午        占        午        占        午        占

外部合成                                               
素数2        1                                       
1        0                                       
合成整除2的数                                               

素数3        2                                       
0        2                                       
合成除3余2的数                                               
素数2,3的作用结果，只能合成6n+2的数                                               

素数5        2                                       
0        2                                       
合成除5余2的数                                               
素数2,3。5的作用结果，只能合成30n+2的数                                               

素数7        2        3
0        2        3
1        3        4
6        1        2

7的剩余类        统计2
0        0
1        1
2        2
3        2
4        1
5        0
6        0
合计        6

不能合成除7余0，余5，余6的数
素数2,3,5,7的作用结果，只能合成210n+2，+32，+92，+122的数

合成数        2        模7
0        2        2
30        32        4
60        62        6
90        92        1
120        122        3
150        152        5
180        182        0

素数11        1        2        3        7        8        10
0        1        2        3        7        8        10
1        2        3        4        8        9        0
3        4        5        6        10        0        2
5        6        7        8        1        2        4
6        7        8        9        2        3        5
8        9        10        0        4        5        7
10        0        1        2        6        7        9

11的剩余类        统计2
0        4
1        3
2        6
3        3
4        4
5        3
6        3
7        5
8        4
9        4
10        3
合计        42

能合成11的所有剩余类

素数13        1        2        3        5        8        9        10        12
0        1        2        3        5        8        9        10        12
1        2        3        4        6        9        10        11        0
3        4        5        6        8        11        12        0        2
5        6        7        8        10        0        1        2        4
6        7        8        9        11        1        2        3        5
7        8        9        10        12        2        3        4        6
8        9        10        11        0        3        4        5        7
10        11        12        0        2        5        6        7        9
12        0        1        2        4        7        8        9        11

13的剩余类        统计2
0        6
1        4
2        8
3        5
4        6
5        5
6        5
7        5
8        6
9        7
10        5
11        6
12        4
合计        72

能合成13的所有剩余类

独木星空谁

截止2022年11月29日周二20:13分浏览量186346，回复7653热度222度。参照浏览量100528
全局置顶贴：浏览量193826
截止2022年11月30日周三21:46分浏览量186523，回复7657热度223度。参照浏览量100562
全局置顶贴：浏览量193862
浏览量193862-186523=7339/31=236.741935483-234（以前预计的平均数，即到年底平均追赶次数）=
2.741935483*31=85人次，即到此为止，少追赶了85人次，离理想追赶人次数不算太多。信心来自实力。
我仍就坚信2022年12月31日前，能追赶，或赶超过全局置顶的那个帖子。

白新岭

最密3生素数        0        2        6                       
中项置零        -3        -1        3                       
求出逆元        3        1        -3                       

最密6生素数        0        4        6        10        12        16
中项置零        -8        -4        -2        2        4        8
求出逆元        8        4        2        -2        -4        -8

内部合成        3        1        -3
8        11        9        5
4        7        5        1
2        5        3        -1
-2        1        -1        -5
-4        -1        -3        -7
-8        -5        -7        -11

相对余数        统计2        mod 11
11        1        0
9        1        9
7        1        7
5        3        5
3        1        3
1        2        1
-1        3        10
-3        1        8
-5        2        6
-7        2        4
-9        0        2
-11        1        0
合计        18      

素数        2        3        5        7        11        13
3        1        0        3        3        3        3
1        1        1        1        1        1        1
-3        1        0        2        4        8        10
未占剩余类        0        2        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        4        2        2        2
未占剩余类        申        占        申        5        4        4
未占剩余类        酉        占        酉        6        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        7        7
未占剩余类        子        占        子        占        9        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        10        9
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        11
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        12

素数        2        3        5        7        11        13
8        0        2        3        1        8        8
4        0        1        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
-4        0        2        1        3        7        9
-8        0        1        2        6        3        5
未占剩余类        1        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        占        1        1
未占剩余类        申        占        申        占        5        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        6        6
未占剩余类        戌        占        戌        占        10        7
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        10
未占剩余类        子        占        子        占        子        12

外部合成                                               
素数2        1                                       
0        1                                       
合成奇数                                               

素数3        0                                       
2        2                                       
合成除3余2的数                                               
素数2,3的作用结果，合成6n+5的数                                               

素数5        0                                       
0        0                                       
4        4                                       
合成整除5的数，或除5余4的数                                               
素数2,3,5的作用结果合成30n+5，或30n+29的数                                               

素数7        0
0        0
2        2
5        5
6        6
合成除7余0，余2，余5，余6四种数      
      
素数2,3,5,7的作用结果合成210n+5,+35,+65,+89,+119,+125,+149,+209的数      

合成数        0        30        60        90        120        150        180
5        5        35        65        95        125        155        185
29        29        59        89        119        149        179        209
                                                      
mod 7        0        30        60        90        120        150        180
5        5        0        2        4        6        1        3
29        1        3        5        0        2        4        6

素数11        0        1        5        6        10
0        0        1        5        6        10
2        2        3        7        8        1
4        4        5        9        10        3
5        5        6        10        0        4
6        6        7        0        1        5
7        7        8        1        2        6
9        9        10        3        4        8
10        10        0        4        5        9

11的剩余类        统计2
0        4
1        4
2        2
3        3
4        4
5        5
6        4
7        3
8        3
9        3
10        5
合计        40

能合成11的所有剩余类

素数13        0        1        3        6        7        10        12
0        0        1        3        6        7        10        12
2        2        3        5        8        9        12        1
4        4        5        7        10        11        1        3
5        5        6        8        11        12        2        4
6        6        7        9        12        0        3        5
7        7        8        10        0        1        4        6
8        8        9        11        1        2        5        7
9        9        10        12        2        3        6        8
11        11        12        1        4        5        8        10
12        12        0        2        5        6        9        11

13的剩余类        统计2
0        4
1        6
2        5
3        5
4        4
5        7
6        6
7        5
8        6
9        5
10        5
11        5
12        7
合计        70

能合成13的所有剩余类

这是最密3生素数的中项，加，最密6生素数的中项，合成数的理论分析过程。

独木星空谁

SELECT 1
USE H:\素数式系数\素数表十亿.dbf ALIAS 素数表
kssj=SECONDS()  &&取出开始时间
s=14.437500000000000000
SELECT 1
  GO 6
  A=素数
  s=s*A*(A-9)/(A-3)/(A-6)
  SKIP 1
        FOR  j=1 TO 50876310
        SELECT 1
        B=素数
        s=s*B*(B-9)/(B-3)/(B-6)
        SELECT 1  
        SKIP
        ENDFOR

?s
=MESSAGEBOX("运行时间："+LTRIM(STR(INT((SECONDS()-kssj)/60)))+"分"+LTRIM(STR(MOD(SECONDS()-kssj,60),5,2))+"秒",64,"运行时间提示")

独木星空谁

2022年12月2日周五农历十一月初九晚20:21分
今天分析最密3生素数（0,2,6）的中项与最密6生素数（0,4,6,10,12,16）的中项，合成数公式。
我们依旧从合成方法上先做一下简单分析：
\(（P-3)*（P-6)=P^2-8P+18=P*（P-8)+18\),从这个等式中，我们知道，有18种合成方法不能均分，
花落谁家，有内部合成所决定，外部合成是具体到每一个素数，繁杂而不好寻找规律，而内部合成，
则不然，丁是丁，卯是卯，不带任何偏离，一锤定音，是落谁家就是谁家，再无改变只可能。

根据内部合成获得：合成方法与剩余类个数关系恒等式
\(（P-3)*（P-6)=2*(P-6)+3*(P-7)+6*(P-8)+(P-11)*(P-9)\)
外部合成
公共系数=\({231}\over{16}\)∏\({P*(P-9)}\over{(P-3)*(P-6)}\)=6.796297476528583000,P≥13.
调整系数:∏\({P_i-6}\over{P_i-9}\)∏\({P_j-7}\over{P_j-9}\)∏\({P_k-8}\over{P_k-9}\)
5,-1≡N|\(P_i\);1,-5,-7≡N|\(P_j\);±11,9,7,±3≡N|\(P_k\)。涉及到11个剩余类
根据合成方法与剩余类的个数关系恒等式，我们获得合成数的数量公式：
Pi3（n)        "2.858248596413687000        0,2,6
Pi6（n)        "17.29861232374961000        0,4,6,10,12,16
合成9生素数的系数→→336.03432729387100
Pi9（n)        "630.0643637008561000        0,2,6,8,12,18,20,26,30
Pi9（n)/合成9生素数=630.0643637008561/336.034327293871=1.875=15/8，有理数倍。

白新岭

孪生素数        0        2                                       
中项置零        -1        1                                       
求出逆元        1        -1                                       

最密7生素数        0        2        6        8        12        18        20
中项置零        -10        -8        -4        -2        2        8        10
求出逆元        10        8        4        2        -2        -8        -10

内部合成        1        -1
10        11        9
8        9        7
4        5        3
2        3        1
-2        -1        -3
-8        -7        -9
-10        -9        -11

相对余数        统计2        mod 11
11        1        0
9        2        9
7        1        7
5        1        5
3        2        3
1        1        1
-1        1        10
-3        1        8
-5        0        6
-7        1        4
-9        2        2
-11        1        0
合计        14       

素数        2        3        5        7        11        13
1        1        1        1        1        1        1
-1        1        2        4        6        10        12
未占剩余类        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        2        2        2        2
未占剩余类        申        占        3        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        4        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        5        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        8        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        9        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        10
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        11

素数        2        3        5        7        11        13
10        0        1        0        3        10        10
8        0        2        3        1        8        8
4        0        1        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11
-8        0        1        2        6        3        5
-10        0        2        0        4        1        3
未占剩余类        1        0        1        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        占        5        1
未占剩余类        申        占        申        占        6        6
未占剩余类        酉        占        酉        占        7        7
未占剩余类        戌        占        戌        占        戌        9
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        12

外部合成       
素数2        1
0        1
合成奇数       

素数3        0
0        0
合成整除3的数       
素数2,3的作用结果，合成6n+3的数       

素数5        1
0        1
2        3
3        4
合成除5余1，余3，余4的三种数       
素数2,3，5的作用结果，合成30n+3，+9，+21的数       

素数7        0
0        0
2        2
3        3
4        4
5        5
不能合成除7余1的，余6的两种数       

合成数        0        30        60        90        120        150        180
3        3        33        63        93        123        153        183
9        9        39        69        99        129        159        189
21        21        51        81        111        141        171        201
                                                       
模7        0        30        60        90        120        150        180
3        3        5        0        2        4        6        1
9        2        4        6        1        3        5        0
21        0        2        4        6        1        3        5

素数2,3，5,7的作用结果，合成210n+3,+9,+21,+33,+39,+51,+63,+81,+93,+123,+129,+159,+171,+189,+201的数

素数11        0        5        6        7
0        0        5        6        7
2        2        7        8        9
3        3        8        9        10
4        4        9        10        0
5        5        10        0        1
6        6        0        1        2
7        7        1        2        3
8        8        2        3        4
9        9        3        4        5

11的剩余类        统计2
0        4
1        3
2        4
3        4
4        3
5        3
6        2
7        3
8        3
9        4
10        3
合计        36

能合成11的所有剩余类

素数13        0        1        6        7        9        12
0        0        1        6        7        9        12
2        2        3        8        9        11        1
3        3        4        9        10        12        2
4        4        5        10        11        0        3
5        5        6        11        12        1        4
6        6        7        12        0        2        5
7        7        8        0        1        3        6
8        8        9        1        2        4        7
9        9        10        2        3        5        8
10        10        11        3        4        6        9
11        11        12        4        5        7        10

13的剩余类        统计2
0        4
1        5
2        5
3        6
4        6
5        5
6        5
7        5
8        4
9        6
10        5
11        5
12        5
合计        66

能合成13的所有剩余类

白新岭

2022年12月4日周日农历十一月十一下午17:22分
今天分析最密2生素数（0,2）的中项与最密7生素数（0,2,6,8,12,18,20）的中项，合成数公式。
我们依旧从合成方法上先做一下简单分析：
\(（P-2)*（P-7)=P^2-9P+14=P*（P-9)+14\),从这个等式中，我们知道，有14种合成方法不能均分，
花落谁家，有内部合成所决定，外部合成是具体到每一个素数，繁杂而不好寻找规律，而内部合成，
则不然，丁是丁，卯是卯，不带任何偏离，一锤定音，是落谁家就是谁家，再无改变只可能。

根据内部合成获得：合成方法与剩余类个数关系恒等式
\(（P-3)*（P-6)=3*(P-7)+8*(P-8)+(P-11)*(P-9)\)
外部合成
公共系数=\({77}\over{9}\)∏\({P*(P-9)}\over{(P-2)*(P-7)}\)=4.715580380717980000  ,P≥13.
调整系数:∏\({P_i-7}\over{P_i-9}\)∏\({P_j-8}\over{P_j-9}\)
±9,3≡N|\(P_i\);±11,±7,5,-3,±1≡N|\(P_j\)。涉及到11个剩余类
根据合成方法与剩余类的个数关系恒等式，我们获得合成数的数量公式：
Pi2（n)        "1.320323632296412000        0,2
Pi7（n)        "53.97194835235760000        0,2,6,8,12,18,20
合成9生素数的系数→→336.034327554333000
Pi9（n)        "630.0643637008561000        0,2,6,8,12,18,20,26,30
Pi9（n)/合成9生素数=630.0643637008561/336.034327293871=1.875=15/8，有理数倍。

白新岭

能合成17的所有剩余类

白新岭

素数        0                                                      
中项置零        0                                                      
求出逆元        0                                                      

最密8生素数        0        2        6        8        12        18        20        26
中项置零        -13        -11        -7        -5        -1        5        7        13
求出逆元        13        11        7        5        1        -5        -7        -13

内部合成        13        11        7        5        1        -5        -7        -13
0        13        11        7        5        1        -5        -7        -13

素数        2        3        5        7        11        13        17      
13        1        1        3        6        2        0        13      
11        1        2        1        4        0        11        11      
7        1        1        2        0        7        7        7      
5        1        2        0        5        5        5        5      
1        1        1        1        1        1        1        1
-5        1        1        0        2        6        8        12
-7        1        2        3        0        4        6        10
-13        1        2        2        1        9        0        4
未占剩余类        0        0        4        3        3        2        0
未占剩余类        未        占        未        占        8        3        2
未占剩余类        申        占        申        占        10        4        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        酉        9        6
未占剩余类        戌        占        戌        占        戌        10        8
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        12        9
未占剩余类        子        占        子        占        子        占        14
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        占        15
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        占        16

外部合成                                                      
素数2        0                                               
1        1                                                      
合成奇数                                                               

素数3        0                                                      
1        1                                                      
2        2                                                      
不能合成整除3的数                                                               
素数2,3的作用结果，只能合成6n+1，或6n+5的数                                                               

素数5        4
1        0
2        1
3        2
4        3
不能合成除5余4的数      

合成数        0        6        12        18        24
1        1        7        13        19        25
5        5        11        17        23        29
                                       
mod 5        0        6        12        18        24
1        1        2        3        4        0
5        0        1        2        3        4

素数2,3,5的作用结果，只能合成30n+1,+5,+7,+11,+13,+17,+23,+25的数

素数7        3
1        4
2        5
3        6
4        0
5        1
6        2
不能合成除7余3的数      

合成数        1        5        7        11        13        17        23        25
0        1        5        7        11        13        17        23        25
30        31        35        37        41        43        47        53        55
60        61        65        67        71        73        77        83        85
90        91        95        97        101        103        107        113        115
120        121        125        127        131        133        137        143        145
150        151        155        157        161        163        167        173        175
180        181        185        187        191        193        197        203        205

mod 7        1        5        7        11        13        17        23        25
0        1        5        0        4        6        3        2        4
30        3        0        2        6        1        5        4        6
60        5        2        4        1        3        0        6        1
90        0        4        6        3        5        2        1        3
120        2        6        1        5        0        4        3        5
150        4        1        3        0        2        6        5        0
180        6        3        5        2        4        1        0        2

素数2,3,5,7作用结果合成数        1        5        7        11        13        23        25
素数2,3,5,7作用结果合成数        35        37        41        43        47        53        55
素数2,3,5,7作用结果合成数        61        65        67        71        77        83        85
素数2,3,5,7作用结果合成数        91        95        97        103        107        113      
素数2,3,5,7作用结果合成数        121        125        127        131        133        137        145
素数2,3,5,7作用结果合成数        151        155        161        163        167        173        175
素数2,3,5,7作用结果合成数        181        187        191        193        197        203        205

白新岭

素数11        3        8        10
1        4        9        0
2        5        10        1
3        6        0        2
4        7        1        3
5        8        2        4
6        9        3        5
7        10        4        6
8        0        5        7
9        1        6        8
10        2        7        9

11的剩余类        统计2
0        3
1        3
2        3
3        2
4        3
5        3
6        3
7        3
8        2
9        3
10        2
合计        30

能合成11的所有剩余类

素数13        2        3        4        9        10        12
1        3        4        5        10        11        0
2        4        5        6        11        12        1
3        5        6        7        12        0        2
4        6        7        8        0        1        3
5        7        8        9        1        2        4
6        8        9        10        2        3        5
7        9        10        11        3        4        6
8        10        11        12        4        5        7
9        11        12        0        5        6        8
10        12        0        1        6        7        9
11        0        1        2        7        8        10
12        1        2        3        8        9        11

13的剩余类        统计2
0        6
1        6
2        5
3        5
4        5
5        6
6        6
7        6
8        6
9        5
10        5
11        6
12        5
合计        72

能合成13的所有剩余类

素数17        0        2        3        6        8        9        14        15        16
1        1        3        4        7        9        10        15        16        0
2        2        4        5        8        10        11        16        0        1
3        3        5        6        9        11        12        0        1        2
4        4        6        7        10        12        13        1        2        3
5        5        7        8        11        13        14        2        3        4
6        6        8        9        12        14        15        3        4        5
7        7        9        10        13        15        16        4        5        6
8        8        10        11        14        16        0        5        6        7
9        9        11        12        15        0        1        6        7        8
10        10        12        13        16        1        2        7        8        9
11        11        13        14        0        2        3        8        9        10
12        12        14        15        1        3        4        9        10        11
13        13        15        16        2        4        5        10        11        12
14        14        16        0        3        5        6        11        12        13
15        15        0        1        4        6        7        12        13        14
16        16        1        2        5        7        8        13        14        15

17的剩余类        统计2
0        8
1        9
2        8
3        8
4        9
5        9
6      8
7        9
8        8
9        8
10        9
11        9
12        9
13        9
14        8
15        8
16        8
合计        144

能合成17的所有剩余类