[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

2022年12月4日周日农历十一月十一晚20:40分
今天分析素数0的中项与最密8生素数（0,2,6,8,12,18,20,26）的中项，合成数公式。
我们依旧从合成方法上先做一下简单分析：
\(（P-1)*（P-8)=P^2-9P+8=P*（P-9)+8\),从这个等式中，我们知道，有8种合成方法不能均分，
花落谁家，有内部合成所决定，外部合成是具体到每一个素数，繁杂而不好寻找规律，而内部合成，
则不然，丁是丁，卯是卯，不带任何偏离，一锤定音，是落谁家就是谁家，再无改变只可能。

根据内部合成获得：合成方法与剩余类个数关系恒等式
\(（P-1)*（P-8)=8*(P-8)+(P-8)*(P-9)\)，P≥17后走上正规。
外部合成
公共系数=\({25025}\over{864}\)∏\({P*(P-9)}\over{(P-1)*(P-8)}\)=23.56323928140952000,P≥13.
调整系数:∏\({P_i-8}\over{P_i-9}\)
±13,11,±7,±5,1≡N|\(P_i\) 。涉及到8个剩余类
根据合成方法与剩余类的个数关系恒等式，我们获得合成数的数量公式：
素数   0   系数1
Pi8（n)        "178.2619546267298000        0,2,6,8,12,18,20,26
合成9生素数的系数→→336.034327554333000
Pi9（n)        "630.0643637008561000        0,2,6,8,12,18,20,26,30
合成9生素数/Pi9（n)=4200.4290916414000/630.0643637008561=6.66666666714656=20/3，有理数倍。
看样子，最密8生素数与素数合成，自由度达到最大化，束缚力较弱。
在捆绑素数合成中，捆绑的素数越多，合成难度越大。

白新岭

最密4生素数        0        2        6        8               
中项置零        -4        -2        2        4               
求出逆元        4        2        -2        -4               

最密6生素数        0        4        6        10        12        16
中项置零        -8        -4        -2        2        4        8
求出逆元        8        4        2        -2        -4        -8

内部合成        8        4        2        -2        -4        -8
4        12        8        6        2        0        -4
2        10        6        4        0        -2        -6
-2        6        2        0        -4        -6        -10
-4        4        0        -2        -6        -8        -12

相对余数        统计2        模11        模13
12        1        1        12
10        1        10        10
8        1        8        8
6        3        6        6
4        2        4        4
2        2        2        2
0        4        0        0
-2        2        9        11
-4        2        7        9
-6        3        5        7
-8        1        3        5
-10        1        1        3
-12        1        10        1
合计        24               

涉及13个剩余类（当素数P大于等于13时成立，到素数17时步入正规）

素数        2        3        5        7        11        13        17
4        0        1        4        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11        15
-4        0        2        1        3        7        9        13
未占剩余类        1        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        1        1        1        1
未占剩余类        申        占        申        6        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        5        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        8        7        7
未占剩余类        子        占        子        占        10        8        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        10        9
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        12        10
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        占        11
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        占        12
未占剩余类        巳        占        巳        占        巳        占        14
未占剩余类        午        占        午        占        午        占        16

素数        2        3        5        7        11        13        17
8        0        2        3        1        8        8        8
4        0        1        4        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11        15
-4        0        2        1        3        7        9        13
-8        0        1        2        6        3        5        9
未占剩余类        1        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        占        1        1        1
未占剩余类        申        占        申        占        5        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        6        6        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        10        7        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        10        7
未占剩余类        子        占        子        占        子        12        10
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        占        11
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        占        12
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        占        14
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        占        16

外部合成                                                      
素数2        1                                               
1        0                                               
合成整除2的数                                                      

素数3        0                                               
0        0                                               
合成整除3的数                                                      
素数2,3的作用结果，合成6n类型整数                                                      

素数5        0                                               
0        0                                               
合成整除5的数                                                      
素数2,3，5的作用结果，合成30n类型整数                                                      

素数7        0
0        0
1        1
6        6
合成除7余0，余1，余6的数      
素数2,3,5,7的作用结果，合成210n+90,+120,+210类型整数      

合成数        30        60        90        120        150        180        210
mod 7        2        4        6        1        3        5        0

素数11        0        1        5        6        10
0        0        1        5        6        10
1        1        2        6        7        0
3        3        4        8        9        2
5        5        6        10        0        4
6        6        7        0        1        5
8        8        9        2        3        7
10        10        0        4        5        9

11的剩余类        统计2
0        5
1        3
2        3
3        2
4        3
5        4
6        4
7        3
8        2
9        3
10        3
合计        35

能合成11的所有剩余类

素数13        0        1        3        6        7        10        12
0        0        1        3        6        7        10        12
1        1        2        4        7        8        11        0
3        3        4        6        9        10        0        2
5        5        6        8        11        12        2        4
6        6        7        9        12        0        3        5
7        7        8        10        0        1        4        6
8        8        9        11        1        2        5        7
10        10        11        0        3        4        7        9
12        12        0        2        5        6        9        11

13的剩余类        统计2
0        7
1        4
2        5
3        4
4        5
5        4
6        6
7        6
8        4
9        5
10        4
11        5
12        4
合计        63

能合成13的所有剩余类
对于素数13来说，没有那个剩余类是内部合成所涉及不到的。

素数17        0        1        3        5        6        7        10        11        12        14        16
0        0        1        3        5        6        7        10        11        12        14        16
1        1        2        4        6        7        8        11        12        13        15        0
3        3        4        6        8        9        10        13        14        15        0        2
5        5        6        8        10        11        12        15        16        0        2        4
6        6        7        9        11        12        13        16        0        1        3        5
7        7        8        10        12        13        14        0        1        2        4        6
8        8        9        11        13        14        15        1        2        3        5        7
9        9        10        12        14        15        16        2        3        4        6        8
10        10        11        13        15        16        0        3        4        5        7        9
11        11        12        14        16        0        1        4        5        6        8        10
12        12        13        15        0        1        2        5        6        7        9        11
14        14        15        0        2        3        4        7        8        9        11        13
16        16        0        2        4        5        6        9        10        11        13        15

17的剩余类        统计2
0        11
1        7
2        9
3        7
4        9
5        8
6        10
7        8
8        8
9        8
10        8
11        10
12        8
13        9
14        7
15        9
16        7
合计        143

能合成17的所有剩余类
到素数17内部合成方法走上正规，相对余数都有了确定的剩余类对象，没有合并，及淹没现象。

独木星空谁

SELECT 1
USE H:\素数式系数\素数表十亿.dbf ALIAS 素数表
kssj=SECONDS()  &&取出开始时间
s=36.317460317460317460
SELECT 1
  GO 7
  A=素数
  s=s*A*(A-10)/(A-4)/(A-6)
  SKIP 1
        FOR  j=1 TO 50876310
        SELECT 1
        B=素数
        s=s*B*(B-10)/(B-4)/(B-6)
        SELECT 1  
        SKIP
        ENDFOR

?s
=MESSAGEBOX("运行时间："+LTRIM(STR(INT((SECONDS()-kssj)/60)))+"分"+LTRIM(STR(MOD(SECONDS()-kssj,60),5,2))+"秒",64,"运行时间提示")

独木星空谁

2022年12月6日周二农历十一月十三下午15:39分
今天分析最密4生素数（0,2,6,8）的中项与最密6生素数（0,4,6,10,12,16）的中项，合成数公式。
我们依旧从合成方法上先做一下简单分析：
\(（P-4)*（P-6)=P^2-10P+24=P*（P-10)+24\),从这个等式中，我们知道，有24种合成方法不能均分，
花落谁家，有内部合成所决定，外部合成是具体到每一个素数，繁杂而不好寻找规律，而内部合成，
则不然，丁是丁，卯是卯，不带任何偏离，一锤定音，是落谁家就是谁家，再无改变只可能。

根据内部合成获得：合成方法与剩余类个数关系恒等式
\(（P-4)*（P-6)=1*(P-6)+2*(P-7)+4*(P-8)+6*(P-9)+(P-13)*(P-10)\)
外部合成
公共系数=\({2288}\over{63}\)∏\({P*(P-10)}\over{(P-4)*(P-6)}\)=18.99177067129888  ,P≥17.
调整系数:∏\({P_i-6}\over{P_i-10}\)∏\({P_j-7}\over{P_j-10}\)∏\({P_k-8}\over{P_k-10}\)∏\({P_m-9}\over{P_m-10}\)
0≡N|\(P_i\);±6≡N|\(P_j\);±4,±2≡N|\(P_k\)；±12,±10,±8≡N|\(P_m\) 。涉及到13个剩余类,素数大于13后调整。
模11同余0的乘5/2；同余±5的乘2；同余±1的，同余±2的,同余±4的乘3/2.
模13同余0的乘7/4；同余±6的乘6/4；同余±2的,同余±4的乘5/4.
根据合成方法与剩余类的个数关系恒等式，我们获得合成数的数量公式：
Pi4（n)        "4.151180864451276000        0,2,6,8
Pi6（n)        "17.29861232374961000        0,4,6,10,12,16
合成10生素数的系数→→1363.79275537262000
Pi10（n)        "1704.740943731160000        0,2,6,8,12,18,20,26,30,32
Pi10（n)/合成10生素数=1704.74094373116/1363.79275537262=1.25=5/4，有理数倍。
中间间隔了，要不一般情况下不超半个小时。

独木星空谁

最密3生素数        0        2        6                              
中项置零        -3        -1        3                              
求出逆元        3        1        -3                              

最密7生素数        0        2        6        8        12        18        20
中项置零        -10        -8        -4        -2        2        8        10
求出逆元        10        8        4        2        -2        -8        -10

内部合成        10        8        4        2        -2        -8        -10
3        13        11        7        5        1        -5        -7
1        11        9        5        3        -1        -7        -9
-3        7        5        1        -1        -5        -11        -13

相对余数        统计2        模11        模13
13        1        2        0
11        2        0        11
9        1        9        9
7        2        7        7
5        3        5        5
3        1        3        3
1        2        1        1
-1        2        10        12
-3        0        8        10
-5        2        6        8
-7        2        4        6
-9        1        2        4
-11        1        0        2
-13        1        9        0
合计        21               

素数        2        3        5        7        11        13        17
3        1        0        3        3        3        3        3
1        1        1        1        1        1        1        1
-3        1        0        2        4        8        10        14
未占剩余类        0        2        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        4        2        2        2        2
未占剩余类        申        占        申        5        4        4        4
未占剩余类        酉        占        酉        6        5        5        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        6        6        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        7        7        7
未占剩余类        子        占        子        占        9        8        8
未占剩余类        丑        占        丑        占        10        9        9
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        11        10
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        12        11
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        占        12
未占剩余类        巳        占        巳        占        巳        占        13
未占剩余类        午        占        午        占        午        占        15
未占剩余类        未        占        未        占        未        占        16

素数        2        3        5        7        11        13        17
10        0        1        0        3        10        10        10
8        0        2        3        1        8        8        8
4        0        1        4        4        4        4        4
2        0        2        2        2        2        2        2
-2        0        1        3        5        9        11        15
-8        0        1        2        6        3        5        9
-10        0        2        0        4        1        3        7
未占剩余类        1        0        1        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        未        占        5        1        1
未占剩余类        申        占        申        占        6        6        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        7        7        5
未占剩余类        戌        占        戌        占        戌        9        6
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        12        11
未占剩余类        子        占        子        占        子        占        12
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        占        13
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        占        14
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        占        16

外部合成                                                      
素数2        1                                               
0        1                                               
合成奇数                                                      

素数3        0                                               
2        2                                               
合成除3余2的数                                                      
素数2,3的作用结果，合成6n+5的数                                                      

素数5        1                                               
0        1                                               
4        0                                               
合成除5余0的，或余1的数。                                                      
素数2,3，5的作用结果，合成30n+5，+11的数                                                      

素数7        0
0        0
2        2
5        5
6        6
      
合成除7余0的，余2的，余5的，余6的数。      
素数2,3，5,7的作用结果，合成210n+5，+35，+41，+65，+125，+131，+161，+191的数      

合成数        0        30        60        90        120        150        180
5        5        35        65        95        125        155        185
11        11        41        71        101        131        161        191
                                                      
mod 7        0        30        60        90        120        150        180
5        5        0        2        4        6        1        3
11        4        6        1        3        5        0        2

素数11        0        5        6        7
0        0        5        6        7
2        2        7        8        9
4        4        9        10        0
5        5        10        0        1
6        6        0        1        2
7        7        1        2        3
9        9        3        4        5
10        10        4        5        6

11的剩余类        统计2
0        4
1        3
2        3
3        2
4        3
5        4
6        3
7        3
8        1
9        3
10        3
合计        32

能合成11的所有剩余类

素数13        0        1        6        7        9        12
0        0        1        6        7        9        12
2        2        3        8        9        11        1
4        4        5        10        11        0        3
5        5        6        11        12        1        4
6        6        7        12        0        2        5
7        7        8        0        1        3        6
8        8        9        1        2        4        7
9        9        10        2        3        5        8
11        11        12        4        5        7        10
12        12        0        5        6        8        11

13的剩余类        统计2
0        5
1        5
2        4
3        4
4        4
5        6
6        5
7        5
8        5
9        4
10        3
11        5
12        5
合计        60

能合成13的所有剩余类

素数17        0        1        3        5        6        11        12        13        14        16
0        0        1        3        5        6        11        12        13        14        16
2        2        3        5        7        8        13        14        15        16        1
4        4        5        7        9        10        15        16        0        1        3
5        5        6        8        10        11        16        0        1        2        4
6        6        7        9        11        12        0        1        2        3        5
7        7        8        10        12        13        1        2        3        4        6
8        8        9        11        13        14        2        3        4        5        7
9        9        10        12        14        15        3        4        5        6        8
10        10        11        13        15        16        4        5        6        7        9
11        11        12        14        16        0        5        6        7        8        10
12        12        13        15        0        1        6        7        8        9        11
13        13        14        16        1        2        7        8        9        10        12
15        15        16        1        3        4        9        10        11        12        14
16        16        0        2        4        5        10        11        12        13        15

17的剩余类        统计2
0        7
1        9
2        7
3        8
4        8
5        10
6        8
7        9
8        8
9        8
10        9
11        9
12        9
13        8
14        7
15        7
16        9
合计        140

能合成17的所有剩余类
到素数17内部合成方法走上正规，相对余数都有了确定的剩余类对象，没有合并，及淹没现象。

白新岭

SELECT 1
USE H:\素数式系数\素数表十亿.dbf ALIAS 素数表
kssj=SECONDS()  &&取出开始时间
s=9.023437500000000000
SELECT 1
  GO 6
  A=素数
  s=s*A*(A-10)/(A-3)/(A-7)
  SKIP 1
        FOR  j=1 TO 50876310
        SELECT 1
        B=素数
        s=s*B*(B-10)/(B-3)/(B-7)
        SELECT 1  
        SKIP
        ENDFOR

?s
=MESSAGEBOX("运行时间："+LTRIM(STR(INT((SECONDS()-kssj)/60)))+"分"+LTRIM(STR(MOD(SECONDS()-kssj,60),5,2))+"秒",64,"运行时间提示")

白新岭

2022年12月8日周四农历十一月十五晚19:08分
今天分析最密3生素数（0,2,6）的中项与最密7生素数（0,2,6,8,12,18,20）的中项，合成数公式。
我们依旧从合成方法上先做一下简单分析：
\(（P-3)*（P-7)=P^2-10P+21=P*（P-10)+21\),从这个等式中，我们知道，有21种合成方法不能均分，
花落谁家，有内部合成所决定，外部合成是具体到每一个素数，繁杂而不好寻找规律，而内部合成，
则不然，丁是丁，卯是卯，不带任何偏离，一锤定音，是落谁家就是谁家，再无改变只可能。

根据内部合成获得：合成方法与剩余类个数关系恒等式
\(（P-3)*（P-7)=1*(P-7)+6*(P-8)+6*(P-9)+(P-13)*(P-10)\)
外部合成
公共系数=\({1155}\over{128}\)∏\({P*(P-10)}\over{(P-3)*(P-7)}\)=3.31521387792048800 ,P≥13.
调整系数:∏\({P_i-7}\over{P_i-10}\)∏\({P_j-8}\over{P_j-10}\)∏\({P_k-9}\over{P_k-10}\)
5≡N|\(P_i\);11,±7,-5,±1≡N|\(P_j\);±13,-11,±9,3,≡N|\(P_k\) 。涉及到13个剩余类,素数大于13后调整。
模11同余0的,同余5的，乘4；同余±1的，同余±2的，同余±4的，同余6的，乘3；同余3的，乘2。

Pi3（n)        "2.858248596413687000        0,2,6
Pi7（n)        "53.97194835235760000        0,2,6,8,12,18,20
合成10生素数的系数→→511.422283172962000
Pi10（n)        "1704.740943731160000        0,2,6,8,12,18,20,26,30,32
Pi10（n)/合成10生素数=1704.74094373116/511.422283172962=3.3333333……=10/3，有理数倍。

白新岭

根据二元合成公式：合成系数*\({元素1的数量*元素2的数量}\over N\),N是范围值，对于“+”也是其本身
把元素1的数量用最密3生素数代替，把元素2的数量用最密7生素数代替，把合成系数用公共系数*调整系数代替，
则：
3.31521387792049*∏\({P_i-7}\over{P_i-10}\)∏\({P_j-8}\over{P_j-10}\)∏\({P_k-9}\over{P_k-10}\)\({最密3生素数的数量*最密7生素数的数量}\over N\)
3.31521387792049*∏\({P_i-7}\over{P_i-10}\)∏\({P_j-8}\over{P_j-10}\)∏\({P_k-9}\over{P_k-10}\)\({{2.85824859641369*{N\over{{ln}^3(N)}}}*{53.9719483523576*{N\over{{ln}^7(N)}}}}\over N\)
511.422283172962*∏\({P_i-7}\over{P_i-10}\)∏\({P_j-8}\over{P_j-10}\)∏\({P_k-9}\over{P_k-10}\)\(N\over{{ln}^{10}(N)}\)
P≥13,模11同余0的,同余5的，乘4；同余±1的，同余±2的，同余±4的，同余6的，乘3；同余3的，乘2。

独木星空谁

2生     3生        4生        5生        6生        7生        8生        9生        10生
2            6        8        12        16        20        26        30        32

独木星空谁

孪生素数对        0        2                                               
中项置零        -1        1                                               
求出逆元        1        -1                                               

最密8生素数        0        2        6        8        12        18        20        26
中项置零        -13        -11        -7        -5        -1        5        7        13
求出逆元        13        11        7        5        1        -5        -7        -13

内部合成        1        -1
13        14        12
11        12        10
7        8        6
5        6        4
1        2        0
-5        -4        -6
-7        -6        -8
-13        -12        -14

相对余数        统计2        模11        模13
14        1        3        1
12        2        1        12
10        1        10        10
8        1        8        8
6        2        6        6
4        1        4        4
2        1        2        2
0        1        0        0
-2        0        9        11
-4        1        7        9
-6        2        5        7
-8        1        3        5
-10        0        1        3
-12        1        10        1
-14        1        8        12
合计        16               

素数        2        3        5        7        11        13        17
1        1        1        1        1        1        1        1
-1        1        2        4        6        10        12        16
未占剩余类        0        0        0        0        0        0        0
未占剩余类        未        占        2        2        2        2        2
未占剩余类        申        占        3        3        3        3        3
未占剩余类        酉        占        酉        4        4        4        4
未占剩余类        戌        占        戌        5        5        5        5
未占剩余类        亥        占        亥        占        6        6        6
未占剩余类        子        占        子        占        7        7        7
未占剩余类        丑        占        丑        占        8        8        8
未占剩余类        寅        占        寅        占        9        9        9
未占剩余类        卯        占        卯        占        卯        10        10
未占剩余类        辰        占        辰        占        辰        11        11
未占剩余类        巳        占        巳        占        巳        占        12
未占剩余类        午        占        午        占        午        占        13
未占剩余类        未        占        未        占        未        占        14
未占剩余类        申        占        申        占        申        占        15

素数        2        3        5        7        11        13        17
13        1        1        3        6        2        0        13
11        1        2        1        4        0        11        11
7        1        1        2        0        7        7        7
5        1        2        0        5        5        5        5
1        1        1        1        1        1        1        1
-5        1        1        0        2        6        8        12
-7        1        2        3        0        4        6        10
-13        1        2        2        1        9        0        4
未占剩余类        0        0        4        3        3        2        0
未占剩余类        未        占        未        占        8        3        2
未占剩余类        申        占        申        占        10        4        3
未占剩余类        酉        占        酉        占        酉        9        6
未占剩余类        戌        占        戌        占        戌        10        8
未占剩余类        亥        占        亥        占        亥        12        9
未占剩余类        子        占        子        占        子        占        14
未占剩余类        丑        占        丑        占        丑        占        15
未占剩余类        寅        占        寅        占        寅        占        16

外部合成      
素数2        0
0        0
合成整除2的数      

素数3        0
0        0
合成整除3的数      
素数2,3的作用结果合成6n类型正整数      

素数5        4
0        4
2        1
3        2
合成除5余1的，余2的，余4的数      
素数2,3，5的作用结果合成30n+6，+12，+24的正整数      

素数7        3
0        3
2        5
3        6
4        0
5        1

合成数        0        30        60        90        120        150        180
6        6        36        66        96        126        156        186
12        12        42        72        102        132        162        192
24        24        54        84        114        144        174        204
                                                      
模7        0        30        60        90        120        150        180
6        6        1        3        5        0        2        4
12        5        0        2        4        6        1        3
24        3        5        0        2        4        6        1

不能合成除7余2的，余4的正整数
素数2,3，5,7的作用结果合成210n+6，+12，+24,+36,+42,+54,+66,+84,+96,+126,+132,+162,+174.+192,+204的正整数

素数11        3        8        10
0        3        8        10
2        5        10        1
3        6        0        2
4        7        1        3
5        8        2        4
6        9        3        5
7        10        4        6
8        0        5        7
9        1        6        8

11的剩余类        统计2
0        2
1        3
2        2
3        3
4        2
5        3
6        3
7        2
8        3
9        1
10        3
合计        27

能合成11的所有剩余类