[原创] 答陆教授问

nlrte

0.3333..... 是数吗？

chcangbaoyu

数有不同的的進位制，能一概而求吗来定数？

顽石

下面引用由nlrte在 2012/03/15 09:39am 发表的内容：
0.3333..... 是数吗？

0.33333……和0.33333，都是小数，但是，分别由各自的定语限定，前者为：无限循环的小数；后者为：有限循环的小数。其中的的字可省略。后者在数轴上可表示为一个确定的点，前后却不能！后者是常数，而前者为变量，是极限为1/3的变量而已。它不是“一个数”而是一个变化过程，即不断向常数1/3以误差可任意小进行逼近的一个变量。
0.33333……，笼统地讲“是一个小数”，我们已经习惯了，但严格地讲：是一个无限循环的小数。是一个变量。

nlrte

下面引用由顽石在 2012/03/15 10:28am 发表的内容：
0.33333……和0.33333，都是小数，但是，分别由各自的定语限定，前者为：无限循环的小数；后者为：有限循环的小数。其中的的字可省略。后者在数轴上可表示为一个确定的点，前后却不能！后者是常数，而前者为变量 ...

怎么前面说是“一个小数”，后面又说“它不是‘一个数’”了呢？

再后面你说：“但严格地讲：是一个无限循环的小数。是一个变量。”
那么按你的意思，究竟是变量还是数？还是既是变量又是数？

顽石

下面引用由nlrte在 2012/03/15 10:48am 发表的内容： 怎么前面说是“一个小数”，后面又说“它不是‘一个数’”了呢？
再后面你说：“但严格地讲：是一个无限循环的小数。是一个变量。”
那么按你的意思，究竟是变量还是数？还是既是变量又是数？

关于变量、常数和数的问题，我以为三者关系已经说得很清楚了。您不服，我只能借助于著名数学家张奠宙赵斌的论述（上述两人编著知识出版社出版的《二十世纪数学史话》） 0.33333……和无穷小，都是变量，也都有相应的极限。 所谓无穷小，不过是极限为0的变量而已。它不是“一个数”而是一个变化过程，即不断向常数0以误差可任意小进行逼近的一个变量。 其实，我只是把其中的无穷小，改为无限循环小数，把0改为1/3而已。 如果您仍然不服，我也不会徒劳地企图再说服您，因为有太多的人，“相信者恒信，不信者恒不信”！

nlrte

晕，什么叫“不服”啊？我只是想搞清楚问题而已。
信与不信，都是要有理由的，要有严谨的演绎推导，不能盲目的信或不信。
况且，信与不信也不是“恒”的。可能开始信一件事，后来发现了是错的而变成不信。反之亦然。
事实上，我目前也是认为 0.333....< 1/3，0.999...< 1 的，理由如下：
设 x = 0.999... = 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... = 1-1/10^n (n→∞)
那么 lim x^n = lim(1-1/10^n)^n (n→∞) = 1/e
如果假设 x = 1，那么显然 lim x^n (n→∞) = 1，
而事实上 lim x^n = 1/e 是不等于 1 的，所以“x = 1”的假设不成立。

顽石

如果有兴趣，可看我的《典型的常识1/3=0.33333……导致五大荒唐》一文，只要在百度搜索中打上任月扬3字，就可找到此文。

nlrte

看了，五个问题其实都是一回事
微积分理论不完美，但不妨碍应用嘛

顽石

下面引用由nlrte在 2012/03/15 05:51pm 发表的内容： 看了，五个问题其实都是一回事
微积分理论不完美，但不妨碍应用嘛

关于0.33333……的实际应用，精确到20个3，已经没有大的意义了。如果1为1万公里长度单位的话，那么0.00000000000000000003就是1毫米的10亿分之3。在一般的工程计算中不会使用到！但是，要讨论基础数学问题，小数点后面一万个3与一万0一个3，仍然是两个不同的有限循环小数！那是确定无疑的！ 我们现在正在讨论的，不是应用数学，而是严格的基础数学问题！

顽石

0.33333……，其实是由无穷多个依次递增的有限循环小数组成的数列，0.3,0.33,0.333，……，而不是“一个数”，不能在数轴中表示为一个确定的点。