判定梅森质数的卢卡斯序列

时空伴随者

蔡家雄 发表于 2023-6-9 22:10
求 \(a^3+b^5+c^6=d^4\) 的正整数解，，，，

\((2×3^{16})^3+(3^{10})^5+(2×3^{8})^6=(3^{13})^4\)

时空伴随者

蔡家雄 发表于 2023-6-10 23:32
时空伴随者找不到一个反例，

设 30k+1 是素数，

2023-06-10 23:39:46
1: 312967和312967^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(312967^24*2^32)和10^(312967^25*2^31)模312967^25*2^32+1的余数分别是
341946506142963019004794848490732030985052213467609141569151380626022975917004401419273140103242731191225845171158923967667157592991920038131874604

1048150229249980129087119110641360535466020526392238189312917954688024834341979467109459311669844198858326209628121314542062294239491323382435151872

2: 316891和316891^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(316891^24*2^32)和10^(316891^25*2^31)模316891^25*2^32+1的余数分别是
1213413395031118934568045502198530026195584140517491677294753594057297363366845891125419905232557529742863293718262812900858098065736154464582837004

1431223591120030874799014215083427723072320465249078998678030872511498423933179442551693590818272361227560788363157099039164795935699875628419383296

3: 320401和320401^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(320401^24*2^32)和10^(320401^25*2^31)模320401^25*2^32+1的余数分别是
595778169252928310402234370451216222370783516425889009596158783074354451602091282537528354025489808921002209109554742027166392316731024188203469010

1884978640518712813896258418541879607634657556773459222061097155767194418527209756729006151665157019682893537294604248835462763797621943266543927296

4: 320851和320851^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(320851^24*2^32)和10^(320851^25*2^31)模320851^25*2^32+1的余数分别是
610831336361085940417363321633324099951241910089901461822553409378799361063281127005912959429361194923629984574880126555533196591336567519512240957

1952292074580551788261145463178278813666536411891241181614541981920895831231936132677197890284228341014571618218988402750237081677989583828126007296

5: 325783和325783^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(325783^24*2^32)和10^(325783^25*2^31)模325783^25*2^32+1的余数分别是
1866860900422255154423634692854820982212971227496746143233423131636274632905381882173484456272516626197076744058393399985518969259487834146611681400

1

6: 325891和325891^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(325891^24*2^32)和10^(325891^25*2^31)模325891^25*2^32+1的余数分别是
2624651333428017896796778361410545847882559013148437189174554159599487911408896049661252779170263230170408591004082840749696085141883944389830868964

2882498126126952588291754121665478206180962060396367937626839347028177002585017726728803822330697493793324140910398634332807024980593543552796983296

7: 327193和327193^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(327193^24*2^32)和10^(327193^25*2^31)模327193^25*2^32+1的余数分别是
949011758479714332833930228736821234940991402637958231668030307115959703692798676707618362772976818262661506761744617510174262036491181051025716180

1

8: 331957和331957^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(331957^24*2^32)和10^(331957^25*2^31)模331957^25*2^32+1的余数分别是
838500630565841009579542969887521391143340496282756216919068670102560719834492267021948560433915921271215052463099616182375185714395051083083294427

4570941237419110905746750706220743285438443178504562073060730099842964884239521139430687386774566395222193662766323672152468690516685811493604687872

9: 332161和332161^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(332161^24*2^32)和10^(332161^25*2^31)模332161^25*2^32+1的余数分别是
2079033209724838762276809704140593832226230352077784548664593114052497527356130341001537324593096351868764472485161689164299316894206378660942782230

4641686920427093301785542365518208799905582736472414365261791013997274099528108007292137641505579601514725604596085990955421709904159379311135031296

10: 337957和337957^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(337957^24*2^32)和10^(337957^25*2^31)模337957^25*2^32+1的余数分别是
5962479740127618745540014263132878043516654818208326491645771008592343092181513516502192609865310282779586053682043319951946055541408395356961317090

7153128358861342927496541986999566718102907872980488976478801832909527531209176617187674265406910847342018439175240230667469020843033879155019087872

11: 339247和339247^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(339247^24*2^32)和10^(339247^25*2^31)模339247^25*2^32+1的余数分别是
7528834563418394562667097984606953223817366772438991011383537215373745783190236247998492636046605729800205392703864469587369939930884063525731753754

7867925827253222460819417403382119192046757903539255573991849029962532336425960905542787471809098593112960989200872519058915033921429397487193423872

12: 340183和340183^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(340183^24*2^32)和10^(340183^25*2^31)模340183^25*2^32+1的余数分别是
4408472456170871138114801539904966821815072578262736618811480420320077781136902329711479037028439191440318139016281949124448876097078079568149350948

1

13: 343261和343261^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(343261^24*2^32)和10^(343261^25*2^31)模343261^25*2^32+1的余数分别是
1934003466450992379049778095299294942528691120562283493501831073889945818088771190278303081026930326442721568795930341026665517714842090724610939564

10557751727768239126388900466348470998840145213895121700617316138591523367494230903108611693208926329552662352214707804090809518195593421791529271296

14: 343897和343897^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(343897^24*2^32)和10^(343897^25*2^31)模343897^25*2^32+1的余数分别是
661574605327790497364820487103130186291765268147120563680990361022156963162398786684345476608031752694232225873221938730112234003157055636936462640

11057820671461825772666456732836312434444291101296407924677058906339560660478228412204420347676290374324274192507690423301660642102817910037122383872

15: 346321和346321^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(346321^24*2^32)和10^(346321^25*2^31)模346321^25*2^32+1的余数分别是
5511900219651674372417498608626683652653380752352369834416793548134628218523472970987261568713492135002931149402151841667692820759978715472842968335

13180458923512694431818750490973244048829365153734469025429969220975378199977788948853762007695702379368930776153851436980410075612786645996243255296

16: 346627和346627^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(346627^24*2^32)和10^(346627^25*2^31)模346627^25*2^32+1的余数分别是
2425558435551329244667062360410046246447938202649505444165690897418278467970207450925706145883057106440999237718518370158651725310536012571137879018

13474714489887869821210872033774827950795627331936998361836386091477030769248772915128125336560591456415570646277064477725679844723457973921746255872

17: 347287和347287^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(347287^24*2^32)和10^(347287^25*2^31)模347287^25*2^32+1的余数分别是
12016190802851837936055126024840455044495875241648599175816023870711579916799740981156770625806739214275910096522036439902696662408938871950168339741

14131004276035535411826453257254266098697334165567021431924761578333515439447539788260977540907154742130001422489907374783720771706091551522786639872

18: 349171和349171^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(349171^24*2^32)和10^(349171^25*2^31)模349171^25*2^32+1的余数分别是
12237553415185345927297044364677852712885938256633057008335677021867959804262958367187140376132325380028614558956561891446438846115196491779984610432

16177597602498183818972588419673068086842088096425834275109761979381416993248054594712169825850163191343500681151928955228967053800232992880298295296

19: 350293和350293^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(350293^24*2^32)和10^(350293^25*2^31)模350293^25*2^32+1的余数分别是
14192084468827874167083719559781832248417974760488098228724927547458180735462422582822492266176776382053687587444031237943239127051173133987927503639

1

20: 352081和352081^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(352081^24*2^32)和10^(352081^25*2^31)模352081^25*2^32+1的余数分别是
5256973660999720931794931953887802757527657825279143679239036399729490271104842749682367906815168448423369608561388618793270689905403292794508336907

19907860453573852439042878956771719164147968377462118065237689129106752394478615814956679252509375219710674920291165650491708810586722445207636279296

21: 359761和359761^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(359761^24*2^32)和10^(359761^25*2^31)模359761^25*2^32+1的余数分别是
33013194355857286257504001852650864843133715305090546614650359261553025394254750641087045794026270827973426175603355276182750272740271018749234912854

34143803995700139476748586770177354887301037756747853720964805529545168115727992433545082845172701009684221491171098704139488150105592830212802871296

22: 363271和363271^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(363271^24*2^32)和10^(363271^25*2^31)模363271^25*2^32+1的余数分别是
31176968080501530725625692427955008429378464231759134203257114498770955396986010394634046369546453253640913604743975354938894623743570854562170256717

43523929376211653010584554348160239879626686698933462184452523946822275026511852285406104045169271876159562592950378137696751218354568855050881335296

23: 363367和363367^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(363367^24*2^32)和10^(363367^25*2^31)模363367^25*2^32+1的余数分别是
9881494820484129395726935013153358355702367338547295342718126903109423775418685693638682145569254962813681398530470546034129887583358768531870051625

43812389937553083084088662852444722759393180875884741028607223718552944262612305791359541701071023705916057501947548767333933712712577810913791311872

24: 367621和367621^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(367621^24*2^32)和10^(367621^25*2^31)模367621^25*2^32+1的余数分别是
42374515504723092170843085428245909018622019190427711666882176111180682183262037690717265672591444594928561216658403461552440534742095172876826549760

58609452345546495172526091734366578118225064144170350585300050318302225184745594886326271092023973353286764232535336059940055939824916115134449975296

25: 375997和375997^25*2^32+1都是素数,p=30K+7
10^(375997^24*2^32)和10^(375997^25*2^31)模375997^25*2^32+1的余数分别是
79289866530208497935615475375036508466599486432644172677564325686181401430047431711295397796364683787748059059775331962242574327671724288846080876092

102936490216447791354927849067866691863789805104879303512173226451764011445358141544860326370614673746327430535953416932190257998909977982529932623872

26: 378571和378571^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(378571^24*2^32)和10^(378571^25*2^31)模378571^25*2^32+1的余数分别是
113871420968454954543860787933463952911560474340464890393467389691580336219117890606268462999558842845660802244102018946656522962185999427349575731692

122079690043163694957676432296893063065498079647920078508458450075621399312363307696031522761422189743370265936876655821195212249433409189935417655296

27: 383113和383113^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(383113^24*2^32)和10^(383113^25*2^31)模383113^25*2^32+1的余数分别是
129246678954429336441676631149807616727660428408834698600169463259831238598102854700853202207025556891151140070932755876755181558139542325755584497002

1

28: 383683和383683^25*2^32+1都是素数,p=30K+13
10^(383683^24*2^32)和10^(383683^25*2^31)模383683^25*2^32+1的余数分别是
158006325362533400602221478731085531679630683936696247872692270679178680056906746413137287581987612646417604347127079932462994892746531254083359097602

1

29: 385501和385501^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(385501^24*2^32)和10^(385501^25*2^31)模385501^25*2^32+1的余数分别是
165713105918819393897444595139344261584189070834517264737629807652342517791541393684437943169269140736364976514323555538216807593549468892057641220628

192131062855898421695860861447403057093836392725803259553642616027094017734010175637320783216825088729908465412971836424389142639925961346466810167296

30: 387031和387031^25*2^32+1都是素数,p=30K+1
10^(387031^24*2^32)和10^(387031^25*2^31)模387031^25*2^32+1的余数分别是
113842265902055170620951819999406259367951520465862680848426466056150427778535834705841398329782819831628439609232783403505420296862773281431313318676

212130767399483242768571036353373030796813001887895913678924006785898657145254898083663171724519749008263202375789339096067673082992341898647144759296

用时 0.73422 秒

时空伴随者

地毯式搜索，p和p^25*2^32+1都是素数，会出现 30k+13 的素数也满足条件。

时空伴随者

没有考虑原根，仅仅是p和p^25*2^32+1都是素数的前提下。

时空伴随者

蔡家雄 发表于 2023-6-11 11:07
蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

2n在10000以内，还有3^2072+2^2073，3^3616+2^3617，3^3702+2^3703，3^5076+2^5077是素数。

蔡家雄

设 n≥3 ,         
                                                                                 
若 (10^n - 1)÷9×3+4 是素数，  

则在万内有哪几个 n 值，使它是素数？  

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-6-14 19:24
设 n≥3 ,         
                                                                                 ...

{3, 6, 46, 394, 978, 2586, 2811, 2968, 3642, 4827, 4918, 5592, 5706, 10683, 12891, 14118, 74350, 88680}

ysr

蔡家雄 发表于 2023-6-18 12:45
由 301927 是素数，

且 301927^25*2^32+1 是素数，

10^(301927^25*2^32/301927) 模素数 301927^25*2^32+1 的余数=  333592167954175970383021658314489013646351096439629677470901211554521954843361272779463413359954790970668436116308340282736321702579405669495913849

10^(301927^25*2^32/2) 模素数 301927^25*2^32+1 的余数=  427079431790603381047260703464074103967832560671670808081580543108817852210152824577456053744174078553532211699106789120335641688761594411453775872

蔡家雄

yangchuanju 发表于 2023-5-30 09:07
一组通解表达式
(2^77*3^85*5^38*k^323)^42+(2^85*3^94*5^42*k^357)^38=(2^95*3^105*5^47*k^399)^34
...

杨老师：网上有数据吗？十万以内的，

设 n≥3 ,     
                                                            
若 (10^n - 1)÷9×2+7 是素数，                                   
                                                                                       
则 n=3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759，.......

yangchuanju

蔡家雄 发表于 2023-6-19 20:40
杨老师：网上有数据吗？十万以内的，

设 n≥3 ,     

A099410
Numbers k such that 2*R_k + 7 is prime, where R_k = 11...1 is the repunit (A002275) of length k.
0, 2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616

22229|2w9                               |(2*10^n+61)/9                          |n=2,3,5,14,176,416,2505,2759,7925,9401,10391,12105,19616,261704,264539