判定梅森质数的卢卡斯序列

蔡家雄

三素数问题

设 m 为偶数，

大于4m的素数 P=素数A+素数B的m倍，均有解，

即：4m< 素数 P= A+m*B，其中 P , A , B 均为素数。

蔡家雄

三素数问题

设 素数P>=7，A, B 均为素数，

则 偶数 2*P=3*A+B 均有解，其中 P , A , B 均为素数。注：偶数 2*3*n 均 无解。


设 素数P>=11，A, B 均为素数，

则 偶数 2*P=5*A+B 均有解，其中 P , A , B 均为素数。注：偶数 2*5*n 均 无解。


设 素数P>=17，A, B 均为素数，

则 偶数 2*P=7*A+B 均有解，其中 P , A , B 均为素数。注：偶数 2*7*n 均 无解。


设 素数P>=23，A, B 均为素数，

则 偶数 2*P=11*A+B 均有解，其中 P , A , B 均为素数。注：偶数 2*11*n 均 无解。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-9-3 11:41
在杨辉三角中，

几百年前，数学家早已求得 \(n(n+1)/2=k^2\) 的通解公式，

10^8以内的解： {1, 2, 48}

蔡家雄

拉马努金恒等式的拓展

\(8=\sqrt{1+7*9}\)

\(8=\sqrt{1+7\sqrt{1+8*10}}\)

\(15=\sqrt{1+14*16}\)

\(15=\sqrt{1+14\sqrt{1+15*17}}\)

Treenewbee

\[a_n=\frac{6}{n (n + 1) (n + 2)}=\frac{3}{n (n + 1) }-\frac{3}{ (n + 1) (n + 2)}\]

\[S_n=\frac{3}{1*2}=\frac{3}{2}\]

朱明君

\(a\left( n\right)=2^{2\left( \ n+1\right)-1}-1，其中n为大于等于1的正整数。\)
\(7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, ......\)

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-11-16 12:49
不定方程 \(5/541 =1/x+1/y+1/z\) 无正整数解

不定方程 \(2>=10/n=1/x+1/y+1/z\) 均有正整数解。

5/541=1/ 110+1/6615+1/15746346

1. FindInstance[{5/541==1/x+1/y+1/z,0<x≤y≤z},{x,y,z},Integers,1]

复制代码

王守恩

蔡家雄 发表于 2023-11-18 00:43
王守恩老师推翻了李君池素数！

http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=286003&fro ...

5/541=1/ 110+1/6615+1/15746346

5/2341=1/ 469+1/274484+1/43051991948

5/12421=1/ 2485+1/7716548+1/34025771161340

5/12601=1/ 2522+1/3531086+1/2158017912271

5/56701=1/11341+1/160761513+1/9397914043620003

5/78781=1/ 15757+1/310338056+1/55034119119295736

......

1. FindInstance[{5/541==1/x+1/y+1/z,0<x≤y≤z},{x,y,z},Integers,1]

复制代码

公式不变。蔡家雄会的！！！

蔡家雄

设 \(L_n = ((1+\sqrt{2})^n+(1 - \sqrt{2})^n)/2= 1，3，7，17，41，99，239，577，...... \)

求证：\(L_n*L_{n+1}*L_{n+2}*L_{n+3}+4 =\) 完全平方数。

则 \(1*3*7*17+4=19^2\)

则 \(3*7*17*41+4=121^2\)

Treenewbee

\[L_n*L_{n+1}*L_{n+2}*L_{n+3}+4 =\left(\frac{1}{4} \left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2 n+3}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n+3}+6 (-1)^n\right)\right)^2=\left(\frac{L_{2n+3}+3(-1)^n}{2}\right)^2\]