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发表于 2023-8-6 15:08
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中国数学在线,
白新岭,
http://www.mathfan.com/CMS/node/305,
Blog文章,
简单阐述函数P(n)的值用Excel求解的方法,
在数论有函数P(n)，是求所有n的表示方法，即把n分成1到n的任意堆，求所有分法的数目和。举例，6=6；
6=1+5，6=2+4，6=3+3；6=1+1+4，6=1+2+3，6=2+2+2；6=1+1+1+3，6=1+1+2+2；6=1+1+1+1+2；6=1+1+1+1+1+1。即P(6)=11。在分法中要求：a1+a2+a3+......+ak=n，（k不定），a1≥a2≥a3≥....≥ak.求符合上述2个条件的所有表示法的数目.看起来非常简单,或许一个小学生也可能求出10以前的值:
P(0)=1，(这是规定)P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=5,P(5)=7,P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,P(9)=30,
P(10)=42,P(11)=56,P(12)=77,P(13)=101,....P(100)=190569292.到100已经是一个很大的数字,所以我们无法用列举法写出所有的结果,只能寻找其他的求解方法,当然在数论中已有近似公式,也有与此有关的定理,推论什么的.可是对于一个没有接触高等数学,深奥的数论知识的人来说，要想接受，学习它还是一件非常难的事情。现在我们从最简单的入手，如果用一堆表示n，那只有一种方法；如果把n分成不同的2堆，则有
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在数论有函数P(n)，是求所有n的表示方法，即把n分成1到n的任意堆，求所有分法的数目和。举例，6=6；
6=1+5，6=2+4，6=3+3；6=1+1+4，6=1+2+3，6=2+2+2；6=1+1+1+3，6=1+1+2+2；6=1+1+1+1+2；6=1+1+1+1+1+1。即P(6)=11。在分法中要求：a1+a2+a3+......+ak=n，（k不定），a1≥a2≥a3≥....≥ak.求符合上述2个条件的所有表示法的数目.看起来非常简单,或许一个小学生也可能求出10以前的值:
P(0)=1，(这是规定)P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=5,P(5)=7,P(6)=11,P(7)=15,P(8)=22,P(9)=30,
P(10)=42,P(11)=56,P(12)=77,P(13)=101,....P(100)=190569292.到100已经是一个很大的数字,所以我们无法用列举法写出所有的结果,只能寻找其他的求解方法,当然在数论中已有近似公式,也有与此有关的定理,推论什么的.可是对于一个没有接触高等数学,深奥的数论知识的人来说，要想接受，学习它还是一件非常难的事情。现在我们从最简单的入手，如果用一堆表示n，那只有一种方法；如果把n分成不同的2堆，则有
[(n-1)/2](这里的中括号是取整函数,即等于某数的整数部分,小数舍去(对于负数要取小于它的整数,不能取大于它的整数(舍去的小数一定大于或等于0,而不小于0).举例说明,10可以分成(1,9);(2,8),(3,7),(4,6)共四种方法,(9,1)与(1,9)是一样的,可以把它看成集合的元素,集合的元素具有互异性,无序性.有人可能会问,(5,5)也该是它的一种2元表示,是的,在数论中,在函数P(n)中绝对是包括这种方法的,不过在这里它不是,这里的分堆法实际上是顺序自然系数方程解的组数,即1x+2y+3z+....+mr=n,1，2，3，...m是已知系数，共m个未知数，x,y,z,....,r都是未知数，且属于正整数，n是一个提前确定的不小于m(m+1)/2的正整数。现在我们分析m=3的情况，对于一个n来说，我们把它排成一排，然后从中任抽2个空位（排成的一排一定会占n个位置，n个1相连必定留下n-1个空位，所以有（n-1）*（n-2）/2中方法把n分成3堆，在这
样的分划过程中，会出现几种情况呢？如果3堆都不同，则一种分法就会出现3*2*1=6种抽取方法，还有两个数一样，三个数一样（这时，只在n是3的倍数时发生），两个数一样时有3种抽法，两个数一样可以用1x+2y=n求得，这样对于方程1x+2y+3z=n，可以这样求得{(n-1)*(n-2)/2-3*INT[(n-1)/2]-1(当n是3的倍数时）}/6.这样可以求出任意的1x+2y+3z=n解的组数，也就求出把一个n分成互不相同的3堆的方法数。即便这样分析下去，对于m=4,m=5,.....m时，还是很难的，有一个通用公式是：[n/m-1]*[n/(m-1)-2]*....*[n/2-m+1]/(m-1)!
这只是近似的求法，而且也仅是求一个确定的k值，也就是说仅是其中的一步，一类方法的数目，每个都有n类（以分成元的个数相同时为一类）。在上述方法中，还是不能用电脑快速求得结果，怎样才能用电脑快速求出结果呢？这样可以求得，在第一列我们排列自然数，从1到20000吧，第二列置数，都是1，也是说整体表示，只有一种，即整体1，所以1元表示法都是1，即x=n，任何确定的n都是1个解。第三列，有第二列错开2位（2行）与别列对应相加而得，即从第4行，输入公式C4=B2+C2,C5=B3+C3,公式都一样，可以快速双击进行本列填充（之所以从2行开始，是因为1行一般的作为列字段用，这里也不例外，数据放在2行一下）；同样第四列可有第三列错3位与本列相加而得（错位是在第一值出现开始计算，但是不是从开始第一个值出现计位，而是相关联的列的第一个值出现开始计位�
��从单元格引用上可以看出来），即D7=C4+D4,D8=C5+D5,依次类推。
后边的列都按这种方法得到。数值的意义，是对应的n值m元的线性方程的正整数解的组数。这样我们会很快得到连续自然数为系数（系数从1开始）的线性方程的解的组数。元数任意，n任意。在上述的基础上，我们就可以用电脑求P(n)的值了。假设我们用S(n,m)表示线性方程x+2y+3z+...+mr=n的解的组数数目，则：
P(n)=S(n,1)+S(n+1,2)+S(n+3*2/2,3)+S(n+4*3/2,4)+.....+S(n+n*(n-1)/2,n),正好是n个方程解的组数数目的总和。例如P(10)=S(10,1)+S(11,2)+S(13,3)+S(16,4)+...+S(55,10）=1+5+8+9+7+5+3+2+1+1=42.好了，可以求出小点的P(n)数值了。
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2008年12月29日 13:30 (星期一)
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