判定梅森质数的卢卡斯序列

Treenewbee

m 为质数，真分数 20/m=1/x+1/y+1/z 都有正整数解 吗？

至少 m=23,29时无解

Treenewbee

m 为合数，真分数 20/m=1/x+1/y+1/z 必有正整数解，
{{21,{}},{22,{}},{24,{{x->2,y->4,z->12}}},{25,{{x->2,y->5,z->10}}},{26,{{x->2,y->4,z->52}}},{27,{}},{28,{{x->2,y->7,z->14}}},{30,{{x->3,y->4,z->12}}},{32,{{x->3,y->6,z->8}}},{33,{{x->2,y->10,z->165}}},{34,{{x->2,y->12,z->204}}},{35,{{x->3,y->6,z->14}}},{36,{{x->3,y->5,z->45}}},{38,{{x->2,y->39,z->1482}}},{39,{{x->2,y->79,z->6162}}},{40,{{x->4,y->6,z->12}}},{42,{{x->4,y->7,z->12}}},{44,{{x->3,y->9,z->99}}},{45,{{x->4,y->9,z->12}}},{46,{{x->3,y->10,z->690}}},{48,{{x->3,y->13,z->156}}},{49,{{x->3,y->14,z->294}}},{50,{{x->4,y->12,z->15}}}}


m 为质数，真分数 20/m=1/x+1/y+1/z 都有正整数解 吗？
{{23,{}},{29,{}},{31,{{x->2,y->7,z->434}}},{37,{{x->2,y->25,z->1850}}},{41,{}},{43,{}},{47,{}},{53,{{x->3,y->24,z->424}}},{59,{{x->3,y->178,z->31506}}},{61,{}},{67,{}},{71,{{x->4,y->32,z->2272}}},{73,{{x->4,y->42,z->6132}}},{79,{{x->4,y->317,z->100172}}},{83,{}},{89,{}},{97,{{x->5,y->162,z->78570}}}}

追梦欧德斯

蔡家雄 发表于 2023-11-23 18:16
请教王老师的

5/541=1/ 110+1/6615+1/15746346

5/541=1/111+1/4290+1/28624310,5/541=1/114+1/2164+1/123348......,蔡老师，我随便就找了两组，应该还有，多计算几组没有太大意义，但关于5/n我分类计算到亿了

追梦欧德斯

蔡家雄 发表于 2023-11-23 10:55
4/(4n+1)=4/(8m+5)=1/a+1/b+1/c 必有公式解，

4/(4n+1)=4/(8m+1)=1/a+1/b+1/c 当m=3k+1及m=3k+2 必有公 ...

4/241=1/66+1/723+1/15906,4/241=1/63+1/1386+1/334026.....,还有我就不一一列举了

追梦欧德斯

蔡家雄 发表于 2023-11-25 10:27
zengyong 的

4/9241=1/2314+1/164498+1/10691837 ——计算错误！

蔡老师，你说是哪个n值，我都能实现分拆

追梦欧德斯

蔡家雄 发表于 2023-11-25 13:55
追梦的：4/9241=1/2312+1/3141940+1/106825960

王老师分解：

确实之前在没有电脑编程，质数分解器的情况下，还没有找到通用方法前，需要消耗大量的墨水和纸张，我用过的笔记本不少于10本，计算用掉的水性笔自己都不记得用了多少了，但我现在总结了两种真分数分拆的方法，经过很多现实问题的检验是没有问题的，现在就等一份邀请我上台讲述的机会

蔡家雄

转贴关春河的

当m=16时，取n=17，由于16/17=1/2+1/3+1/17+1/34+1/51是16/17最好的解，所以16/17是第一个不能分拆为4个单分数的埃及分数。仿前面的推导方法可知，对于一切的n>3的正整数，方程（1）的分拆底数为FD(16)=5。…… 继续追寻下去，我们发现，探究方程（1）的分拆底数FD(m),只需研究n=p为素数，m=p-1的情形。 102/103=1/2+1/4+1/6+1/14+1/721+1/1236是102/103最好的解，所以102/103是第一个不能分拆为5个单分数的真分数。因此，FD（102）=6。 732/733=1/2+1/5+1/8+1/9+1/16+1/65970+1/105552是732/733最好的解，所以732/333是第一个不能分拆为6个单分数的埃及分数。因此，FD（732）=7。 32410/32411=1/2+1/5+1/7+1/8+1/32+1/1204+1/31808+1/221649753920是32410/32411最好的解，所以32410/32411是第一个不能分拆为7个单分数的埃及分数。因此，FD（32410）=8。 那么，第一个不能分拆为8个单分数的埃及分数是多少？现在还不得而知。但它一定是一个 （p-1）/p型的埃及分数！

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-12-2 12:32
求解方程：\(y^2=3*x^2+1\) 的正整数解，

\[x_n=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n-\left(2-\sqrt{3}\right)^n}{2 \sqrt{3}}\]
\[y_n=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n}{2 }\]

朱明君

wlc1

追梦欧德斯 发表于 2023-11-28 17:28
4/241=1/66+1/723+1/15906,4/241=1/63+1/1386+1/334026.....,还有我就不一一列举了

请教：追梦欧德斯，

6/2161=1/x+1/y+1/z