差为 4，6，8，…的孪生素数组数实算数据

白新岭

反倒是天山草先生的孪生素数2n的数量比不是一个定值，无线缩小（实际上不可能，因为原始的孪生素数对2n有一席之地，比如原始相邻素数差是6的素数对它就占二生素数（p，p+6）的1/3,所以有2倍乘1/3,最终极限不小于2/3）。

白新岭

moranhuishou先生的见解独树一帜。

yangchuanju

评述
在本舞台先后登台表演的共有天山草、moranhuishou、阿钟、wangyangke、任在深、常量、lsx2013、重生、zhujingshen、白新岭、熊一兵等论坛元老和网友；主角是天山草和moranhuishou。
天山草老师是本帖的博主，介绍的是差等于2、4、6、8、10、12、14和100的相邻素数对的数量及差等于4、6、8、10、12、14和100的相邻素数对的数量与差等于2的孪生素数对的比值。天山草认为当计算范围越来越大时，差为 4，6，8，……的孪生素数的数量，与差为 2 的孪生素数的数量，二者之比分别会趋于某个不同的极限值。
moranhuishou认为若研究差等于2、4、6、8、10、12、14……的素数对的数量，应该是所有差等于2、4、6、8、10、12、14……的素数对的数量，不管这两个素数之间有没有其它素数，这样差等于2、4、6、8、10、12、14……的素数对的数量应该一样多或差不多。
对于这类素数对究竟该如何命名，各位登台表演者分别介绍了各自的看法，笔者不作评述，请各位读者自行领会。
天山草老师在帖子开头集中给出了2000亿以内的全部差等于2、4、6、8、10、12、14和100的相邻素数对的数量及二者的比值，经网友的完善最终可用“二者之比分别会波动式的趋于某个不同的极限值”表述。
博贴还涉及素数平均间距、最大间距、徬2素数等。

yangchuanju

徬2三生素数串和a2a、2b2四生素数串
对于此类素数究竟如何称呼为宜？集、族、组、丛、群哪个更确切？白新岭先生习惯称之为“群”，笔者认为称为“串”更好些，因为我们已经按从小到大将它们排成了一排。

存在大量的徬2三生素数串。wangyangke先生所论述的徬2素数是在差等于2的孪生素数对前或后再加一个素数构成的三生素数串，如间距026和间距046（邻距024和邻距042）的三生素数。
该类素数只涉及3个素数，求三素数模3的余数，只要不覆盖模3的全部余数0、1、2，其数量就不是唯一的。3、5、7模3分别余0、2、1，占满了3的全部余数，是唯一的一组徬2素数。
以下用邻距论述。存在大量的邻距等于0-2-4、0-2-6、0-2-10、0-2-12、0-2-16……和邻距等于0-4-2、0-6-2、0-10-2、0-12-2、0-16-2……三生素数串，换成间距表达式分别为0-2-6、0-2-8、0-2-12、0-2-14、0-2-18……和0-4-6、0-6-8、0-10-12、0-12-14、0-16-18……，因为它们模3的余数分别是020、022、020、022、020……和010、002、010、002、010……。如三生素数串5-7-11、29-31-37、71-73-83、7-11-13、23-29-31等等。
在这里我之所以说它们的数量是“大量的”，不说“无穷多”，因为至今对孪生素数无穷多（孪生素数猜想）尚无人真正地给予证明，尽管它是公认的无穷多。对于上述三生素数可能都是无穷多的，因为我不能证明，故而我只能说它们的数量是大量的。
经对前50000个素数统计分析，共有用邻距表达式表示的0-2-4、0-2-6、0-2-10、0-2-12、0-2-16和0-4-2、0-6-2、0-10-2、0-12-2、0-16-2三生素数串各963、878、1008、622、407和1025、842、1011、660、380个。

存在大量的a2a、2b2四生素数串。这里的a可以是4、6、10、12、16……，通式是6n-2和6n；b可以是4、10、16……，通式是6n-2。其邻距表达式分别为0-4-2-4、0-6-2-6、0-10-2-10、0-12-2-12、0-16-2-16……和0-2-4-2、0-2-10-2、0-2-16-2……，换成间距表达式分别为0-4-6-10、0-6-8-14、0-10-12-22、0-12-14-26、0-16-18-34……和0-2-6-8、0-2-12-14、0-2-18-20……，因为它们模3的余数分别是101、022、101、022、101……和202、202、202……，如四生素数串7-11-13-17、23-29-31-37、5-7-11-13、137-139-149-151等等。
经对前50000个素数统计分析，共有用邻距表达式表示的0-4-2-4、0-6-2-6、0-10-2-10、0-12-2-12、0-16-2-16和0-2-4-2、0-2-10-2、0-2-16-2型四生素数串各243、175、189、58、19和118、225、101个。

yangchuanju

差等于2、4、6、8、10……的素数对的数量一样多吗？
差等于2、4、8、16、32、64……的素数对的数量一样多吗？
差等于2、6、30、210、2310、30030……的素数对的数量一样多吗？

经对前50000个素数p统计分析，p+2是素数的共5423个，p+4是素数的共5419个，即差等于2的孪生素数和差等于4的表兄弟素数基本相等；
差等于6的相邻素数对有8890个，中间隔1个素数的差等于6的素数对1988个（最密三生素数），总10878个，约为孪生素数数量的2倍；
差等于8的相邻素数对3646个，中间隔1个素数的1720个，中间隔2个素数的119个（最密四生素数），总5485个，约等于孪生素数的数量；
差等于10的相邻素数对4574个，中间隔1个素数的2409个，中间隔2个素数的243个，总7226个。
差等于12的相邻素数对5099个，相邻和不相邻素数对总共10827个，与差等于6的素数对总数基本相等；
差等于14的相邻素数对2729个，相邻和不相邻素数对总共6593个，与差等于10的素数对总数大致相等；
差等于16的相邻素数对1816个，相邻和不相邻素数对总共5450个，与差等于2、4、8的素数对总数大致相等。
又经对前20001个素数p统计分析，p+2，+6，+30，+2310，+30030中的素数个数分别为2371，4730，6558，7601，8393和8768个，随着素数阶乘数的增大，p+q#中的素数个数明显增加（q#表示另一素数的阶乘）。通过统计分析也改变了我个人一直认为的它们应该大致相等的观念。

通过以上统计分析可知：（1）当素数逐渐增大后，差等于2,4,8的素数对相等，差等于6和12的素数对最多，差等于10和14的素数对介于2和6之间；（2）差等于2、4、6、8、10……的素数对的数量不可能一样多，白新岭的差等于2、4、8、16、32、64……的素数对的数量有可能一样多；【附注：这种说法不正确，请看87楼的计算数据和分析】（3）差等于2、6、30、210、2310、30030……的素数对逐渐增多。【附注：这种说法也不正确，过了30030就逐渐减少了，请看89楼的计算数据和分析】

yangchuanju

素数间隙问题
随着自然数的增大，其中的素数数量越来越少，因此素数间隙也越来越大。但是由于素数分布极不均匀，某些数域中素数间隙可能相当大，又可能相当小。
经计算可知前447个素数总跨度是3163，而最密447生素数群的总跨度才3159，比自然数开头处的素数密度还要大一些；
最密4487生素数群总跨度是41503，而41503内仅有4339个素数，在存有4487生最密素数群的区间的素数比自然数开头处的素数还要多148个。
素数最大间隙一般分布在素数阶乘p#的前后，从p#-q-1到p#-1之间和p#+1到p#+q+1之间没有素数，其间隙至少为q-1，式中的q是素数p的下一个素数；但如果p#-1或p#+1不是素数，或他俩都不是素数，则此处的素数间隙就要大许多。
天山草老师计算了100亿内的最大素数间隙和平均间隙，见下表：
区间  最大间距  平均间距        素数个数
0-10 亿区间，最大间距= 282，平均间距=19.666636        50847534
10亿-20 亿区间，最大间距= 292， 平均间距=21.108290        47374753
20亿-30 亿区间，最大间距= 320， 平均间距=21.632261        46227250
30 亿- 40 亿区间，最大间距= 336，   平均间距=21.972095        45512275
40 亿- 50 亿区间，最大间距= 354， 平均间距=22.225970        44992411
50 亿- 60 亿区间，最大间距= 332， 平均间距=22.425978        44591145
60 亿- 70 亿区间，最大间距= 330， 平均间距=22.594283        44258984
70 亿- 80 亿区间，最大间距= 326， 平均间距=22.737968        43979302
80 亿- 90 亿区间，最大间距= 340， 平均间距=22.862609        43739541
90 亿- 100 亿区间，最大间距= 330， 平均间距=22.973023        43529316
综合在一起，100亿以内，最大间距354，平均间距21.97549        455052511
有人推测素数的最大间隙与p的平方根相关联，还有人推测素数的最大间隙与p的自然对数相关联，笔者不曾见到他们的正规证明，笔者也不想在那里费脑费时。

yangchuanju

请白新岭老师抽空看一看，给以指正！

yangchuanju

白新岭 发表于 2020-9-28 19:32
素数差是10^n的二生素数是孪生素数数量的4/3倍。

在72楼白新岭老师说：“素数差是10^n的二生素数是孪生素数数量的4/3倍。”
经对前20001个素数p统计分析，p+10，+100，+1000，+10000，+100000，+1000000及1000000-p中的素数个数分别为3157，3145，3161，3094，2887，2532，2551个，随着加数的增大，p+10^n中的素数个数逐渐减少，不是白新岭所断言的它们都是孪生素数数量（2371对）的4/3，其比值分别为1.315，1.3264，1.3332，1.3049，1.2176和1.0679；另对1000000+p和1000000-p中的素数个数统计分析，它们几乎相等。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-1-18 10:04
请白新岭老师抽空看一看，给以指正！

在510510以内是找不到最密4487生素数的，它肯定存在，并有无穷多组，但要在相当大的数域才会找到它们。

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-1-18 11:11
在72楼白新岭老师说：“素数差是10^n的二生素数是孪生素数数量的4/3倍。”
经对前20001个素数p统计分析 ...

随着数字的增大，素数个数越来越少；素数p加10^n是素数的可能性随着n的增大肯定是越来越小；它们与孪生素数的比值只会越来越小，不会是4/3或1等定值；又由于素数是无穷多的，故它们的比值最终要趋近于无穷小，但不会等于0。
已对上面各段中的个别错字做了改正。