[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

伐木道人

    关于在空间中代数方程实根的具体情况，即使利用杨路老师的非线性代数方程组的理论，仍然难以得到一个简单、明晰的结论。
    或者说：最先进的数学方法仍有许多不足之处，非线性问题依然个性极强，令我们无从逾越，人们远未找到它们之间的普遍联系，困难仍在那里向我们挑战。
    形势远非郝柏林先生所预计的那样乐观，在非线性问题上数学家并未找到行之有效的好方法。
   

申一言

不久的将来！

门外人

楼主的三元数形式上是三维直角坐标和球坐标，这样表示三维空间中的点当然是可行的。
二维的情形，即复数，从形式上可以看出，所有推导都是类比复数的形式展开的，“向下兼容”也没有问题。
至于三维的情形，就“一定”会有不向下兼容的问题了。不过反正是数系的扩展，有点儿不一样也是应该的。
不同之处我可以看出来的有三点：
首先，模关系不再成立。楼主说这是自由，我也不反对，毕竟数系扩展的历史中失去的性质也都被接受了。
其次，结合律不再成立。这更说得过去，因为想让交换律和结合律都成立看来是不太能指望了。
最后，乘法有了一个全新的几何意义。这是最让人困惑的一点：新的乘法既不像复数的乘法，也不像三维矢量的任何一种“乘法”，也不是一种容易“理解”的乘法。楼主提出了“仿射变换”，但是这个变换的过程恐怕不是十句八句能说明白的。
结合律，大概多数人同意不要；模关系，肯定有人能接受不要；可是乘法，应该没人不想要。问题在于乘法究竟该是什么样子。楼主的乘法是ij=0下的乘法，如果ij等于别的什么，就会弄出另一种乘法。那为什么定义ij=0呢？
如果肯定i^2=j^2=-1，那么ij等于什么就是构造三元数的核心问题。楼主定义ij=0，却没有解释为什么这样定义，也没有解释如果不这样定义会有什么不同的结果，这等于既没有合理性，也没有必然性。
下面来探讨一些更重要的问题。
这样的三元数用处何在呢？我的意思不是纯数学需不需要“有用”，不是指在其他学科特别是物理中的应用，而是说新的数系至少在数学中应该是有用的。这又不像数论中的某些已成的或未成的定理，定理至少肯定了一个命题，而三元数这样的定义如果没什么用场的话，那就真的只能当花瓶看了。
把楼主的三元数代替三维矢量来用，初步看来的不现实的，因为三元数的乘法意义不明，而已经广泛使用的几种矢量乘法在三元数中又不能简捷表达，而是需要挺复杂的变换。那么又有谁会舍近求远呢？
自从Hamilton发明了四元数之后，人们对数系扩展的追求实际上是走入了歧途。事实上，四元数基本上就是个花瓶，除了为抽象代数提供一个例子外，几乎没有什么实际用途。但这种花瓶要多少有多少，随便一抽象就能弄出一个，我们犯不着费心再弄几个吧？
历史上另一个著名的“发明”是非欧几何，后来却大放异彩。但我觉得，发明非欧几何的那些人，从数学家的角度上，不会认为非欧几何是没用的。现在想来，非欧几何的神奇只不过在于人类受到三维（也许仅仅是二维半，因为我们可以理解二维的任何曲面，对三维却只能知觉欧几里得空间）知觉的限制。即使没有物理学的实际应用，数学的很多分支该有的还是会有，只是可能慢一些而已。
真的很难说四元数是为什么被发明的，也许只能算是Hamilton的消遣吧。但在那之前，每一次数系的扩展都是有目的的，那就是解方程。如果不是xx=a在有理数内不完全可解，就不会有无理数以至复数了。历史上认为无理数、负数、虚数不可理解，只不过是人类认识的一时的局限。现在想来，在已经定义的数系上不能解决全部问题，才是真正不可接受的。
复数的成功，几乎全部是来自代数基本定理，最简单的一类方程——代数方程，终于被彻底搞掂了。人类好像很骄傲，这又好像没什么道理。因为，面前还有那么多超越方程呢，怎么算？
数系究竟需不需要扩展，应该取决与所有超越方程在复数内是不是完全可解。如果是，那再扩展数系就没什么意义；如果不是，那扩展数系就是必然。数是什么？肯定是拿来用的，不是摆着看的。数是做什么用的？肯定是解决问题用的。人类在解方程的攀登中，从自然数、整数、有理数、实数来到了复数。既然还有方程没有解决，当然应该继续攀登下去。
所以，对数系扩展的思考，应该放弃Hamilton式华而不实的形式主义，而回归到为解方程而生的道路上。不要再盯着代数方程了，Gauss在复数内的解答已经完美，三元数、四元数之类在代数方程上的研究最多只能是锦上添花。以最朴素的类推，首先应该弄清的问题是x^x=a在复数内是否全部可解？历史上总是一到x+x=a、xx=a这样的形式时就搞不掂了。也许这个问题是已经解决的，但我只是个门外人，呵呵。
最后再啰嗦几句闲话。
讨论数学的地方，好像不该有什么私人恩怨、帮派恩怨、阶级恩怨、民族恩怨……胜利从来不是吹出的，也不是吵出来的。应用数学比的是谁算得深、谁算得快，还能为世界、为民族、为朋友、为家人或为自己做点贡献，至于纯数学，还是把名利抛开，纯粹想想数学吧。毕竟，如果数学都不能纯，大概再也没有什么能纯了，不是吗？

申一言

>>至于纯数学，还是把名利抛开，纯粹想想数学吧。毕竟，如果数学都不能纯，大概再也没有什么能纯了，不是吗？<< 好!------如果数学都不能纯,大概再也没有什么能纯了!!!

伐木道人

楼上的朋友：
    你好！
    申一言先生应该说是一个非常喜欢数学的人，与数学中国上大多数人一样。我们都是因数学走到一起的。
    再上层的“门外汉”先生，其实并非全在门外，至少有一条腿是在数学的大门之内的。
    能看出三元数中，代数形式与球坐标的统一也并非易事，楼主至少应对大学数学有所了解。
     至于对模律的理解及结合律的理解，“门外汉”尚未真正了解精髓，并未看到复平面绕x轴旋转一周形成三维空间的趣味，而只有在一个数平面上，才会有模律及结合律的成立，这正是复数理论的局限性。
     “门外汉”不能；立即理解“仿射变换”，这很遗憾！数学专业工作者不会提出这样的问题，因学过高等代数、高等几何的大学生当能马上看出，复数乘法显然是仿射变换的特例，在对赵录老师的回答中已解释的很清楚，在这一点上，楼主是真在门外了。
    三元数的三角形式可以解释太阳系行星运动，在物理学中是有用的，它与原来的球坐标还是有一定区别的，取值范围不同，几何意义也有区别。这在跟商与儒先生的交谈中已做了说明。
    最后谈i*j=0的定义，数学中有些东西始终具有某种神秘性，因为这样的定义是最简单的，而牛顿先生认为;真理就在简单之中，笔者相信数学世界与上帝创造的物理世界一样，其内涵必然也符合秩序、简单、和谐的原理，恰好发现数系理论符合此种情况。如不这样定义，就会发现哈密顿的四元数，况且，三元数自然推广至N元数是并不需要付出太多精力的，其自身满足自洽性。
     对代数学基本定理，复数理论本质是说：N个圆经过了0点，但在三元数中，我们只能更本质地说：严格来说，是N个椭球面经过了0点，这是非常有趣的事情，同时，也说明，一类非线性代数方程组是必然有解的，这对职业数学家非常重要。
     最后，谈数学界的种种分歧，数学家也是人，完全纯的数学家很难找到，尤其在中国，门派关系复杂也是事实，丘成桐先生揭露的数学界黑幕很可能是真的，这是业余数学工作者必须正视的事情，因为，很多权威已控制了数学界中的经费拨放、课题安排及各种荣誉的颁发，所以，大多数业余工作者虽然很有数学天赋，但，面对一个对自己不利的形势，试问又能如何呢？发发牢骚也可以理解。
     好，别不多谈，再叙。
      

伐木道人

  另哈密顿的三元数和非欧几何，楼上的朋友认为是发明，这是有欠公允的，哈密顿和罗巴且夫斯基先生若在，也必会不同意，西方的数学家对数学的研究非常认真而虔诚，并不象国内的一些人那样注重名利，事实上，他们并不认为是他们发明了数学概念和定理，他们认为，一些数学概念和定理是从来就存在的，伟大的数学王国充满宝藏，只是碰巧被他们发现了几个罢了，数学真理只能被发现，而不是被发明，这是有本质区别的，数学家只能是真理的仆人。
   三元数不是向量，但可以补充定义后，把向量理论包含在内，这个问题比较深，有时间再谈。

门外人

发现还是发明，只是个人信仰罢了。我不认为是上帝创造了一切，而数学又显然不是物质世界的东西，就只能是人类的伟大发明了。我的概念里，发现和发明毫无贵贱之分。拿对物质世界的发现来说，看走眼时候也多了：子虚乌有的元素，莫名其妙的定律。认识的局限总是存在的，无论发现还是发明。
楼主说的模律和结合律的精髓，只是“三元数”中的精髓。复数理论也无所谓什么局限，毕竟复数不会跑到一个数平面外面去。
对于乘法，首要的不是变换的性质，而是变换的过程。能马上看出乘法是仿射变换的特例，并不能马上看出乘法是怎么算的。这是本末倒置的。
解释太阳系行星运动，并不一定需要三元数。这不是新的数系应该发挥作用的地方。
“一类非线性代数方程组是必然有解的，这对职业数学家非常重要”——为什么对业余数学爱好者就不重要呢？潜台词是说业余的没人会研究这种不吸引人的问题吗？呵呵。
数学界中的经费拨放、课题安排及各种荣誉的颁发，业余数学爱好者大可不必盯着不放，做数学现在虽然贵了一点，一台电脑基本也就够了。我想还是做一个爱好者比较好，工作者可是要有产出的，很多职业数学工作者能做的也只是浪费纸张、增加图书馆负荷而已。
我只是觉得，数系是否需要扩展的问题，比三元数应该是什么样子的问题更有意义。

伐木道人

  “门外人”不认为是上帝创造了一切，这当然是您的自由，不过牛顿与哈密顿及开普勒等大科学家与你不一样，他们是虔诚的教徒，他们认为上帝是依照数学设计了宇宙，而且设计中遵循了简单、优美、和谐的数学方案，大自然是按数学法则设计的，所有的科学，只有最终取得简洁、优美、确定的数学形式，那才能被真正称为科学，事实上，近代科学也正是这样发展的，各学科的学生们都在学着多种多样的数学公式。
    你认为数学研究是人类的发明，事实上，即使地球上没有人类，勾股定理会不会就因此错误呢？数学真理是客观真理，还是仅仅是人类的主观意念呢？这好像无需做太多讨论。
    你认为复数理论也无所谓什么局限，毕竟复数不会跑到一个数平面外面去。但，我们的物理世界会不会满足于一个扁平的二维复数数学世界呢？中外许多数学家梦想对三元数乃至N元数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，是不是如你所想就毫无意义？而仅是为了解方程呢？
    至于乘法的运算，若两个三元数在同一个数平面上，运算与复数几乎完全一样，过程好像并不复杂，乘法怎么算出的不应该成为问题；若两个三元数不在同一个数平面上，将其中一个分成两个，一个与给定的三元数在同一个数平面，乘法又与复数乘法几乎相同，而另一个与给定的三元数垂直，直接相乘即可，又能难到哪去？
   有高中知识已足以应付了。
   三元数的三角形式稍作变换，p=acosωt+bsinωt(icosφ+jsinφ),其中φ可以作为该行星的轨道倾角，ω是行星的角速度，a、b是椭圆轨道的长、短轴，非常简洁地表达了行星的运动，而传统的球坐标做不到，因取值范围不同，三元数中φ值确定得到一个平面，传统的球坐标中φ值确定仅得到半个平面，如何形成一个轨道面？你认为，解释太阳系行星运动，并不一定需要三元数，可能你忘了，研究交流电，也不一定需要复数，不过目前，电器工程师们都已离不开复数，他们都明白用复数理论是最简单的，当然，研究方法不止一种，不过，数学家只是提供一个数学工具由物理学家来选择，最终应有物理学界的朋友来决定是否采用，这好像不是你所能决定的，已超越了数学工作者的能力范畴。
    三元数理论揭示出一类非线性代数方程组是必然有解的，这对职业数学家非常重要”——为什么对业余数学爱好者就不重要呢？潜台词是说业余的没人会研究这种不吸引人的问题吗？呵呵。你最后的呵呵就多余了，是不是你认为中国有业余研究者已在非线性代数方程组领域取得重大突破呢？那你不妨现在就指出一两位来，我们尽可向他学习，据我了解，在这个领域，尚没有人能超得过杨路院士及姚勇、张景中、侯晓荣等前辈。
    你认为数学界中的经费拨放、课题安排及各种荣誉的颁发，业余数学爱好者大可不必盯着不放，事实上，科学的发展是全民的事业，即使数学爱好者可以不要也根本要不来的经费与课题，难道他们出了成果，却连获得相应的承认与荣誉都不应该去争取吗？
    你又认为很多职业数学工作者能做的也只是浪费纸张、增加图书馆负荷而已。真不知道你还有没有爱国之心，国家为了解决历史上留下的重大数学问题，才确立了数学各种课题，提供相当的数学经费，目的是为了解决国防和科研中的重大数学难题，这些难题交给大学学术机构和研究所当然更为妥当。我想，大多数人也能理解，即使有些人终身未能实现重大突破，而你竟然就理解不了了。
    你又觉得，数系是否需要扩展的问题，比三元数应该是什么样子的问题更有意义。
    难道古今中外的许多数学家们，这其中包括高斯、维赛尔、阿甘得、哈密顿、格拉斯曼等等，他们顽强探索各种数系的工作竟然被你认为是没有意义的？
     高斯本人就研究过三元数，西方一部分数学家认为研究数学是为了更好地解释自然、利用自然，象傅立叶等，另一部分数学家认为是为了人类心智的荣耀，象雅克比等，不过他们都认为主要是数学家天生对数学的兴趣使他们研究数学，而对数学作出的各种顽强的探索与钻研都是极有意义的，与你的观点大相径庭！
     好，就说这么多吧，我相信，世事自有公论，无需你我多谈。

   

   

门外人

最后一贴：
“传统的球坐标中φ值确定仅得到半个平面，如何形成一个轨道面？”
从90°N到90°S的纬度与经度刻划了地球，而不是半个地球。
非线性代数方程组在复数内难道不是必然有解的吗？楼主应该先解释一下。
物理世界会不会满足于一个扁平的二维复数数学世界，不是由信仰和激情决定的，要看研究的问题能不能处理下去。
无论数的基础还是几何基础，都必须源自一组公理，并且可取的公理不止一组，该如何“客观”地确定“真理”呢？
外国当然也有很多职业数学工作者浪费纸张、增加图书馆负荷。很多人终身未能实现重大突破我当然能理解，反之我就真的不能理解了。但是没获得什么突破却非要弄出论文来不可，是一种悲哀。
上帝与人类数学的关系用数学术语讲是“不相关”。
数系是否需要扩展和三元数应该是什么样子哪个更有意义的问题，不知道楼主认为那些大数学家会如何回答。以楼主对数学界的熟悉程度，也许可以得到一些数学界人士的答案。
我不打算再来这里了，对于真正热爱数学的人来说，这样的地方不是好地方。

伐木道人

   “门外人”大可不必生气，球坐标用经纬线刻划点与直观表达出太阳系中行星在一个倾斜的轨道面运行是有区别的，半个平面无法表述完整的轨道平面，从太阳系行星图中可以很清楚的看出，当年，牛顿推导用万有引力定律推导行星椭圆轨道时，没有用直角坐标，而是用的极坐标。
    非线性代数方程组在复数内难道不是必然有解的吗？据代数学基本定理发展而来的贝佐定理这当然有一个确定的结果，问题是，数学家很多时候更关心她有确定的实数解，而不是复数解， 在一般情况下，方程组在仿射空间有多少个公共零点，这是更为重要的，三元数范围内，研究的一元N次代数方程所对应的一类非线性代数方程组可以得出确切的结论，必定是有实数解的，而且至少有N个，这当然非常重要，存在性与上限问题就都解决了。不知你以为如何？
    要看研究的问题能不能处理下去，这里要提醒你的是：中国有不止一人已经处理的很好，象河南的屈鹏展教授，湖北的夏新念教授等，luyuanhong老师也独立提出了一种三元数，你又何必对别人的研究成果泼冷水呢？他们自己凭自己的实力与兴趣去搞搞研究与你何干？我估计你根本没有看过他们的论文，而我都仔细看了一遍，屈鹏展老师的论文还获得了科技进步三等奖，如你认为他们有错误之处，我们欢迎你来指正，这是正常的学术讨论，任何人有不同的见解就提出，这有利于大家提高自身的研究水平，你说呢？
     该如何确定真理，只能由历史与时间来决定，对的错不了，错的也不可能被大家广泛承认。
    上帝与数学的关系，吾等凡人不好乱下断言，只是，西方科学家中有90%以上是相信上帝的，不过，笔者并非认为，不信仰上帝，就一定做不出好数学，引用牛顿、开普勒、哈密顿只是为尊重事实，甚至爱英斯坦先生也不认为宗教与科学是不相容的，你可以看看这位大物理学家的文集。可得出的结论是：对有宗教信仰的人，他们认为研究数学是为了上帝的荣耀，当然就相关，对不信仰的人，他们就不相关。
   数系是否需要扩展和三元数应该是什么样子哪个更有意义的问题，如果你能去亲自问一下高斯，问他为什么不去干点别的或许更能赚钱的工作，却去研究三元数，你想他会怎么回答。  
   你说：我不打算再来这里了，对于真正热爱数学的人来说，这样的地方不是好地方。这次你真的错了，大家有不同见解很正常，事实上，我们并无任何私人恩怨，我们都是因喜欢数学才来这里的，应该说，我们中有许多人都是真正热爱数学的人，否则，我们就都不会来了。
   “门外人”提法不妥，为什么不能理直气壮地做个“门内人”呢？我们都欢迎你经常进来！