非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/08/31 00:24pm 发表的内容：
你的想法很好！
其实，要把半圆弧变成一个圆弧，把半圆弧的两个端点连接起来，变成一个点，是很容易做到的。
只要像下面那样，把投影中心 P 从半圆弧的圆心移到圆弧的下端就可以了：

这样就很完美了！但这样会得出一个-∞=+∞的结论，虽然射影几何就是这样认为的，但我搞不清楚这个等式和非标准分析中的各种结论和推导有没有矛盾？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/31 10:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/08/31 08:19pm 发表的内容：
这样就很完美了！但这样会得出一个-∞=+∞的结论，虽然射影几何就是这样认为的，但我搞不清楚这个等式和非标准分析中的各种结论和推导有没有矛盾？

在第 70 楼给出的超实数域的图示中，虽然正无穷大量与负无穷大量看起来好像连接在一起，其实它们是分开的。
在正无穷大量和负无穷大量中间，隔着一个 P 点。这个 P 点是投影中心，它不对应于任何数。
所以，第 70 楼超实数域图示中的圆弧，其实并不是完整的一个圆，而是挖去了一点 P 以后的圆弧，与射影几何是不一样的。
在射影几何中，没有 ＋∞ 与 －∞ 的区别，把 ＋∞ 与 －∞ 合并成一个不分正负的 ∞ ，合并成一个“无穷远点”。
而在超实数域中，正无穷大量与负无穷大量是有区别的，并不存在一个介于两者之间的不分正负的超实数 ∞ 。
所以，对于超实数来说，并不会出现 ＋∞＝－∞ 的问题。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/08/31 10:14pm 发表的内容：
在第 70 楼给出的超实数域的图示中，虽然正无穷大量与负无穷大量看起来好像连接在一起，其实它们是分开的。
在正无穷大量和负无穷大量中间，隔着一个 P 点。这个 P 点是投影中心，它不对应于任何数。
所以，第 7 ...

这就是说，这个 P 点和 0 点一样，无穷小量只是聚集在0的周围，而0本身并不是无穷小量；
同理，无穷大量也都聚集在了P点的周围，而P点本身并不代表无穷大量。
陆老师：上面我说得对吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/01 09:38am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/09/01 08:11am 发表的内容：
这就是说，这个 P 点和 0 点一样，无穷小量只是聚集在0的周围，而0本身并不是无穷小量；
同理，无穷大量也都聚集在了P点的周围，而P点本身并不代表无穷大量。
陆老师：上面我说得对吗？

首先，请你注意一下我在第 42 楼中说到的“无穷小量”和“非 0 无穷小量”的定义：
如果一个超实数，它的绝对值小于任何正实数，这样的超实数就称为“无穷小量”。
如果一个超实数，它的绝对值小于任何正实数，而又不等于 0 ，这样的超实数就称为“非 0 无穷小量”。
因为 0 的绝对值小于任何正实数，所以按照定义，0 也算是“无穷小量”，但不是“非 0 无穷小量”。
下面就可以回答你的问题了，我们可以说：
非 0 无穷小量只是聚集在 0 的周围，而 0 本身并不是非 0 无穷小量；
同理，无穷大量也都聚集在 P 点的周围，而 P 点本身并不代表无穷大量。
所以，在这个意义上，可以说 0 点与 P 点是很相似的。
但是，0 点与 P 点也有不相似的地方：
0 点代表超实数域中的一个数字 0 ，而 P 点并不代表超实数域中的任何数字。

天茂

对对！0本身也是一个无穷小量。但0和别的无穷小量的区别在于：
0是实数，非0无穷小量不是实数，而是超实数；
0是有限数，非0无穷小量不是有限数，而是超限数（即超穷数），即它的本质还是无限数；
至于那个P，既不是实数，又不是超实数；既不是有限数，也不是超限数。或者说它根本就不代表任何一个数，只代表几何上的一个点。但是这样一来，数轴和实数（或超实数）又不能建立一一对应关系了。而且，这个P点分明就是射影几何中的“无穷远点”。
这样看来，射影几何与非标准分析在“无穷远点”的问题上确实存在冲突的问题。

luyuanhong

在非标准分析中和在射影几何中，都把“无穷大”当作普通的数来处理，这是它们的相同之处。
但是，非标准分析处理“无穷大”的问题，比起射影几何来，要复杂得多，也细致得多。

天茂

我非常同意陆老师的正确分析！非标准分析处理“无穷大”的问题，比起射影几何来，要复杂得多，也细致得多。
但是，我认为射影几何对“无穷大”的宏观把握，要比非标准分析掌握得好。因为“-∞=+∞”的等式完全符合哲学上“物极必反”的原理，而在非标准分析中，那个P点却一直没有个说法，即使我们关于P点的讨论已经大大超出了非标准分析的范围。
上述观点，恭请陆老师指正。

hxl268

1+1+∑（1-1）=2缘于其所有1组成{1}的项多于所有-1组成{-1}的项。故此｛n｝的项可多于彼｛n｝的项。
三、结束语
标准分析之前的几千年数学求圆周长须先将圆无穷多等分，其实就是不自觉地使用一直在数学中起举足轻重作用的无穷数，否定它只是近百多年来的事，以上表明这是百年重大寃案。否定无理数的数学自相矛盾，否定无穷数的数学也必自相矛盾，从而极难学难教。
“1908年著名数学和物理学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：下一代人将把集论当作一种疾病且人们已经从中恢复过来了。注意到这是集论问世30年后的预言，故有非凡科学洞察力的庞大师是对集论起码思考研究了20年才慎重作出此经深思熟虑的天才预言的。在一片叫好声中，智慧超群的天才大师超越时代地清醒坚信：凡不合实际违反真正物理常识的理论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认的“真理”的回天力[3]。”
参考文献
  [1]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，...，n，...}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[2]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形
——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009年8月下半期:267.
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/09/01 04:46pm 发表的内容：
我非常同意陆老师的正确分析！非标准分析处理“无穷大”的问题，比起射影几何来，要复杂得多，也细致得多。
但是，我认为射影几何对“无穷大”的宏观把握，要比非标准分析掌握得好。因为“-∞=+∞”的等式完全符 ...

【真理】往往是非常简洁的。
太复杂的，就意味着有缺陷[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

前面已经说过了，缺少“辩证 ｄｉａｌｅｃｔｉｃ”逻辑的

天茂

下面引用由天茂在 2009/09/01 04:46pm 发表的内容：
我非常同意陆老师的正确分析！非标准分析处理“无穷大”的问题，比起射影几何来，要复杂得多，也细致得多。
但是，我认为射影几何对“无穷大”的宏观把握，要比非标准分析掌握得好。因为“-∞=+∞”的等式完全符合哲学上“物极必反”的原理，而在非标准分析中，那个P点却一直没有个说法，即使我们关于P点的讨论已经大大超出了非标准分析的范围。
上述观点，恭请陆老师指正。

请教陆老师：
我猜想，您是不是有这么一个回帖原则：凡是数学问题一定热心回帖，凡是哲学问题一概不回。
是不是这样呢？我猜得对不对呢？