本原勾股方程

cz1

求：(a^2+3ab+b^2)/(a*b+3)，有解吗？

Treenewbee

wlc1 发表于 2024-3-4 06:58
求：(a^2+2ab+b^2)/(a*b+2)，有解吗？

部分解：{{4,24},{6,96},{8,240},{10,480},{12,840},{24,140},{140,816}}

Treenewbee

求：(a^2+3ab+b^2)/(a*b+3)，有解吗？
----------------------
部分解：
{{2,4},{6,54},{9,216},{12,540},{15,1080},{18,1890},{54,480}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-3 17:48
求：y^2=2*x^2+9 ,

\[x=round[\frac{3 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}}{2 \sqrt{2}}]\]
\[y=round[\frac{3 \left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}}{2}]\]

蔡家雄

求：(a^2+4ab+b^2)/(a*b+4)，有解吗？

蔡家雄

求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-4 12:23
求：\(y^2=41*x^2+49\) 的通项公式，

\[x=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right]\]
\[y=\text{Round}\left[\frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right]\]

Treenewbee

Or

\[x=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2 \sqrt{41}}\right\rfloor\]
\[y=\left\lfloor \frac{7 \left(320 \sqrt{41}+2049\right)^n}{2}\right\rfloor\]

Treenewbee

cz1 发表于 2024-3-4 19:56
求：\(a^2+ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[(k^2+k+1)m^2-(2k+1)m=0\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+1}{k^2+k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+1,k^2+k+1)\]

Treenewbee

wlc1 发表于 2024-3-4 19:58
求：\(a^2+3ab+b^2=c^2\) 的通解公式，可以有吗？

\[ a^2+3ab+b^2=c^2 \implies \left(\frac a c\right)^2+3\left(\frac a c\right)\left(\frac b c\right)+\left(\frac b c\right)^2=1\implies m^2+3mn+n^2=1\]

令 \[n=km-1\]
可得到 \[m^2+3m(km-1)+(km-1)^2=1\]

\[\ m=0; m=\frac{2k+3}{k^2+3k+1}\]
\[(a,b,c)=(0,n,n),(k^2-1,2k+3,k^2+3k+1)\]