欧拉素数链

白新岭 · 发表于 2022-12-22 10:27

素数19 941 2 3 5 7 11 13 17 19
0 941 1 2 1 3 6 5 6 10
2 943 1 1 3 5 8 7 8 12
6 947 1 2 2 2 1 11 12 16
12 953 1 2 3 1 7 4 1 3
20 961 1 1 1 2 4 12 9 11
30 971 1 2 1 5 3 9 2 2
42 983 1 2 3 3 4 8 14 14
56 997 1 1 2 3 7 9 11 9
72 1013 1 2 3 5 1 12 10 6
90 1031 1 2 1 2 8 4 11 5
110 1051 1 1 1 1 6 11 14 6
132 1073 1 2 3 2 6 7 2 9
156 1097 1 2 2 5 8 5 9 14
182 1123 1 1 3 3 1 5 1 2
210 1151 1 2 1 3 7 7 12 11
240 1181 1 2 1 5 4 11 8 3
272 1213 1 1 3 2 3 4 6 16
306 1247 1 2 2 1 4 12 6 12
342 1283 1 2 3 2 7 9 8 10
380 1321 1 1 1 5 1 8 12 10
420 1361 1 2 1 3 8 9 1 12
462 1403 1 2 3 3 6 12 9 16
506 1447 1 1 2 5 6 4 2 3
552 1493 1 2 3 2 8 11 14 11
600 1541 1 2 1 1 1 7 11 2
650 1591 1 1 1 2 7 5 10 14
702 1643 1 2 3 5 4 5 11 9
756 1697 1 2 2 3 3 7 14 6
812 1753 1 1 3 3 4 11 2 5
870 1811 1 2 1 5 7 4 9 6
930 1871 1 2 1 2 1 12 1 9
992 1933 1 1 3 1 8 9 12 14
1056 1997 1 2 2 2 6 8 8 2
1122 2063 1 2 3 5 6 9 6 11
1190 2131 1 1 1 3 8 12 6 3
1260 2201 1 2 1 3 1 4 8 16
1332 2273 1 2 3 5 7 11 12 12
1406 2347 1 1 2 2 4 7 1 10
1482 2423 1 2 3 1 3 5 9 10
1560 2501 1 2 1 2 4 5 2 12
1640 2581 1 1 1 5 7 7 14 16
1722 2663 1 2 3 3 1 11 11 3
1806 2747 1 2 2 3 8 4 10 11
1892 2833 1 1 3 5 6 12 11 2
1980 2921 1 2 1 2 6 9 14 14
2070 3011 1 2 1 1 8 8 2 9
2162 3103 1 1 3 2 1 9 9 6
2256 3197 1 2 2 5 7 12 1 5
2352 3293 1 2 3 3 4 4 12 6
2450 3391 1 1 1 3 3 11 8 9
2550 3491 1 2 1 5 4 7 6 14
2652 3593 1 2 3 2 7 5 6 2
2756 3697 1 1 2 1 1 5 8 11
2862 3803 1 2 3 2 8 7 12 3
2970 3911 1 2 1 5 6 11 1 16
3080 4021 1 1 1 3 6 4 9 12
3192 4133 1 2 3 3 8 12 2 10
3306 4247 1 2 2 5 1 9 14 10
3422 4363 1 1 3 2 7 8 11 12
3540 4481 1 2 1 1 4 9 10 16
3660 4601 1 2 1 2 3 12 11 3
3782 4723 1 1 3 5 4 4 14 11
3906 4847 1 2 2 3 7 11 2 2
4032 4973 1 2 3 3 1 7 9 14
4160 5101 1 1 1 5 8 5 1 9
4290 5231 1 2 1 2 6 5 12 6
4422 5363 1 2 3 1 6 7 8 5
4556 5497 1 1 2 2 8 11 6 6
4692 5633 1 2 3 5 1 4 6 9
4830 5771 1 2 1 3 7 12 8 14
4970 5911 1 1 1 3 4 9 12 2
5112 6053 1 2 3 5 3 8 1 11
5256 6197 1 2 2 2 4 9 9 3
5402 6343 1 1 3 1 7 12 2 16
5550 6491 1 2 1 2 1 4 14 12
5700 6641 1 2 1 5 8 11 11 10
5852 6793 1 1 3 3 6 7 10 10
6006 6947 1 2 2 3 6 5 11 12
6162 7103 1 2 3 5 8 5 14 16
6320 7261 1 1 1 2 1 7 2 3
6480 7421 1 2 1 1 7 11 9 11
6642 7583 1 2 3 2 4 4 1 2
6806 7747 1 1 2 5 3 12 12 14
6972 7913 1 2 3 3 4 9 8 9
7140 8081 1 2 1 3 7 8 6 6
7310 8251 1 1 1 5 1 9 6 5
7482 8423 1 2 3 2 8 12 8 6
7656 8597 1 2 2 1 6 4 12 9
7832 8773 1 1 3 2 6 11 1 14
8010 8951 1 2 1 5 8 7 9 2
8190 9131 1 2 1 3 1 5 2 11
8372 9313 1 1 3 3 7 5 14 3
8556 9497 1 2 2 5 4 7 11 16
8742 9683 1 2 3 2 3 11 10 12
8930 9871 1 1 1 1 4 4 11 10
9120 10061 1 2 1 2 7 12 14 10
9312 10253 1 2 3 5 1 9 2 12
9506 10447 1 1 2 3 8 8 9 16
9702 10643 1 2 3 3 6 9 1 3
9900 10841 1 2 1 5 6 12 12 11
10100 11041 1 1 1 2 8 4 8 2
10302 11243 1 2 3 1 1 11 6 14
10506 11447 1 2 2 2 7 7 6 9
10712 11653 1 1 3 5 4 5 8 6
10920 11861 1 2 1 3 3 5 12 5
11130 12071 1 2 1 3 4 7 1 6
11342 12283 1 1 3 5 7 11 9 9
11556 12497 1 2 2 2 1 4 2 14
11772 12713 1 2 3 1 8 12 14 2
11990 12931 1 1 1 2 6 9 11 11
12210 13151 1 2 1 5 6 8 10 3
12432 13373 1 2 3 3 8 9 11 16
12656 13597 1 1 2 3 1 12 14 12
12882 13823 1 2 3 5 7 4 2 10
13110 14051 1 2 1 2 4 11 9 10
13340 14281 1 1 1 1 3 7 1 12
13572 14513 1 2 3 2 4 5 12 16
13806 14747 1 2 2 5 7 5 8 3
14042 14983 1 1 3 3 1 7 6 11
14280 15221 1 2 1 3 8 11 6 2
14520 15461 1 2 1 5 6 4 8 14
14762 15703 1 1 3 2 6 12 12 9
15006 15947 1 2 2 1 8 9 1 6
15252 16193 1 2 3 2 1 8 9 5
15500 16441 1 1 1 5 7 9 2 6
15750 16691 1 2 1 3 4 12 14 9
16002 16943 1 2 3 3 3 4 11 14
16256 17197 1 1 2 5 4 11 10 2
16512 17453 1 2 3 2 7 7 11 11
16770 17711 1 2 1 1 1 5 14 3
17030 17971 1 1 1 2 8 5 2 16
17292 18233 1 2 3 5 6 7 9 12
17556 18497 1 2 2 3 6 11 1 10
17822 18763 1 1 3 3 8 4 12 10
18090 19031 1 2 1 5 1 12 8 12
18360 19301 1 2 1 2 7 9 6 16
18632 19573 1 1 3 1 4 8 6 3
18906 19847 1 2 2 2 3 9 8 11
19182 20123 1 2 3 5 4 12 12 2
19460 20401 1 1 1 3 7 4 1 14
19740 20681 1 2 1 3 1 11 9 9
20022 20963 1 2 3 5 8 7 2 6
20306 21247 1 1 2 2 6 5 14 5
20592 21533 1 2 3 1 6 5 11 6
20880 21821 1 2 1 2 8 7 10 9
21170 22111 1 1 1 5 1 11 11 14
21462 22403 1 2 3 3 7 4 14 2
21756 22697 1 2 2 3 4 12 2 11
22052 22993 1 1 3 5 3 9 9 3
22350 23291 1 2 1 2 4 8 1 16
22650 23591 1 2 1 1 7 9 12 12
22952 23893 1 1 3 2 1 12 8 10
23256 24197 1 2 2 5 8 4 6 10
23562 24503 1 2 3 3 6 11 6 12
23870 24811 1 1 1 3 6 7 8 16
24180 25121 1 2 1 5 8 5 12 3
24492 25433 1 2 3 2 1 5 1 11
24806 25747 1 1 2 1 7 7 9 2
25122 26063 1 2 3 2 4 11 2 14
25440 26381 1 2 1 5 3 4 14 9
25760 26701 1 1 1 3 4 12 11 6
26082 27023 1 2 3 3 7 9 10 5
26406 27347 1 2 2 5 1 8 11 6
26732 27673 1 1 3 2 8 9 14 9
27060 28001 1 2 1 1 6 12 2 14
27390 28331 1 2 1 2 6 4 9 2
27722 28663 1 1 3 5 8 11 1 11
28056 28997 1 2 2 3 1 7 12 3
28392 29333 1 2 3 3 7 5 8 16
对到19时，留数941的分析数据，链条长度为169.

白新岭 · 发表于 2022-12-22 10:50

白新岭发表于 2022-12-22 10:20
素数19 模19
41 3
941 10

70#的它们下一个初始值需要加9699690这个周期，比如941+9699690n，也就说，如果941不是所找到的素数链条，可以加周期继续查找，总会在它们中找到答案，而除它们以外，是绝对没有的。
它们指明了具体搜寻对象，不用摸着石头过河。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 11:40

白新岭发表于 2022-12-22 10:50
70#的它们下一个初始值需要加9699690这个周期，比如941+9699690n，也就说，如果941不是所找到的素数链条 ...

互素数与留数
所有奇数都是与2互素的数；
30以内与2和3都互素的数有1,5,7,11,13,17,19,23,25,29；
30以内与2,3和5都互素的数有1,7,11,13,17,19,23,29；
210以内与2,3和5都互素的数有：56个
1 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 49 53 59
61 67 71 73 77 79 83 89
91 97 101 103 107 109 113 119
121 127 131 133 137 139 143 149
151 157 161 163 167 169 173 179
181 187 191 193 197 199 203 209
其中不与7互素的数是：7,49,77,91,119,133,161,203；除去后还有48个与2,3,5,7都互素的数。

再扩大一级，2310以内与2,3,5,7都互素的数有48*11=528个，其中是11倍数的数有48个；
除去后在2310以内与2,3,5,7,11都互素的数有480个；
继续，在30030以内与2,3,5,7,11,13都互素的数有480*12=5760个；
继续，在510510以内与2,3,5,7,11,13,17都互素的数有5760*16=92160个；
白新岭筛至17后的17留数共1440个，
92160/1440=64，白新岭的留数与互素数不是同一个概念，比互素数少的多。
经查1440个17留数中仅有模17余1,2,3,6,7,8,10,16的8类数，没有模17余4,5,9,11,12,13,14,15的。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 11:41

向上反查白新岭的30030以内13留数共180个，1440除以180等于8；
内模13的余数仅有2,3,4,5,8,12；没有余1,6,7,9,10,11的。

再向上反查白新岭的2310以内11留数共30个，180除以30等于6；
内模11的余数仅有1,4,6,7,8；没有余2,3,5,9,10的。

继续向上，210以内7留数共6个，30除以6等于5；
内模7的余数仅有3,4,6；没有余1,2,5的。

继续向上，30以内5留数共2个，6除以2等于3；
内模5的余数仅有1和2；没有余3和4的。
30以内3留数仅保留了模3余2的11和17，好像还应该有一个23，23模5余3，是在后一步被去掉了；
没有模3余1的7,17,19,29。

已知要想在二次三项式n^2+n+p中有较长的素数链，素数必须是1和7结尾的；
3+2=5，9+2+4=15，以3和9结尾的素数分别在n=1和n=2时被打断。
如此看来，白新岭的留数是在互素数、尾数基础上求算的。

30以内的5留数（实际上是3和5的留数）是11和17；扩展至210时变为
11 41 71 101 131 161 191
17 47 77 107 137 167 197
各数+2,+4,+6,+8,+10,+12后得
13 43 73 103 133 163 193
19 49 79 109 139 169 199
17 47 77 107 137 167 197
23 53 83 113 143 173 203
23 53 83 113 143 173 203
29 59 89 119 149 179 209
31 61 91 121 151 181 211
37 67 97 127 157 187 217
41 71 101 131 161 191 221
47 77 107 137 167 197 227
53 83 113 143 173 203 233
59 89 119 149 179 209 239
凡各组加和数中有7的倍数时，皆从5留数中删除（余数表略），最后剩下11,17,41,101,137,167六个数——7留数。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 11:42

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-23 10:41 编辑

向下，5扩展到30个，30扩展到180个，180扩展到1440个，……
再向下暂不扩展了，改为逐级缩小，在1440个17留数中去掉其中是19倍数的数，
及以这1440个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是19倍数的数字共760个；
再在剩余的680个19留数中去掉其中是23倍数的数，
及以这680个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是23倍数的数字共362个；
继续在剩余的318个23留数中去掉其中是29倍数的数，
及以这318个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是29倍数的数字共165个；
继续在剩余的153个29留数中去掉其中是31倍数的数，
及以这153个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是31倍数的数字共90个；
继续在剩余的63个31留数中去掉其中是37倍数的数，
及以这63个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是37倍数的数字共34个；
继续在剩余的29个31留数中去掉其中是41倍数的数，
及以这29个素数领头的二次三项式n^2+n+p各项数值中是41倍数的数字共23个；
最后剩下6个41留数（不包括素数41）。
19421 27941 55661 72491 237761 333491

筛子号码 19 23 29 31 37 41
累计筛除 760 1122 1287 1377 1411 1434
单次筛除 760 362 165 90 34 23
筛余个数 680 318 153 63 29 6
至此，白新岭的留数概念和求法基本弄明白了。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 11:43

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-23 10:42 编辑

下一步，分别以6个41留数19421,27941,55661,72491,237761,333491为首素数，套入二次三项式进行计算；
（n=0-500）对计算值再进行因式分解，可知计算式中虽不再含在2-41的素因子，但其中大于41的素因子多得是，
每每被素因子43,47，53……所打断，行不成链长41或40的素数链，其中第1-6个41留数的第一段素数链长分别为5,5,6,0,0,4；
另行查知，在n=500以内第1-6个41留数的最大素数链长分别是10,12,13,13,8,12。
首素数 19421 27941 55661 72491 237761 333491
首组链长 5 5 6 0 0 4
最大链长 10 12 13 13 8 12
1 54 37 30 30 50 50
2 30 21 17 31 37 34
3 13 20 20 7 17 22
4 15 5 10 11 8 8
5 7 10 12 8 6 7
6 2 8 6 8 1 2
7 3 2 5 3 3 1
8 1 4 0 0 1 1
9 1 1 0 2 0 0
10 1 1 1 2 0 1
11 0 0 1 1 0 0
12 0 1 1 0 0 1
13 0 0 1 0 1 0
素数链数 127 110 104 103 124 127
素数个数 308 334 341 315 285 300
按照本法找不到素数链长≥40的首素数。

六个19留数分别含有最小素因子47,47,43,47,43,53，
继续筛下去，43留数还有4个，47留数只剩1个，53留数一个也没有了。
如要找到更大的19,23,29,31,37,41,43,47,53……留数，必须扩大基数范围
至19#，23#，29#，……53#，……

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 13:50

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-22 13:52 编辑

白新岭发表于 2022-12-22 10:50
70#的它们下一个初始值需要加9699690这个周期，比如941+9699690n，也就说，如果941不是所找到的素数链条 ...

数列n^2+n除以3,5,7,11,13……余数分布规律
规律一：
当除数是3时，余数有0,2,0三种，三余数总是这三个，且循环出现；
当除数是5时，余数有0,2,1,2,0五种，五余数总是这五个，且循环出现；
当除数是7时，余数有0,2,6,5,6,2,0七种，七余数总是这七个，且循环出现；
……
规律二：
各素数（用q表示）的余数循环节前后两半节总是对称相等的，由于余数循环节长度等于素数自身，故循环节正中间的一位是自身对称性。

二次三项式n^2+n+p是在数量n^2+n的基础上加了一个素数p，每一个p除以(q=)3,5,7,11,13……的余数是固定的，
在各个素数q的余数循环节之上各加一个固定数mod(p,q)，循环节仍然是一定的；如果循环节中的某些数字≥q时，余数需减去q；
新的余数循环节依然是前后两半节对称相等的，循环节正中间的一位是自身对称性的。

p=941模19余10，二次式n^2+n除以19的余数循环节是0,2,6,12,1,11,4,18,15—14—15,18,4,11,1,12,6,2,0；
加到一起二次三项式n^2+n+941除以19的余数循环节是10,12,16,3,11,2,14,9,6—5—6,9,14,2,11,3,16,12,10。

19#=9699690是19的倍数，二次三项式n^2+n+941加上9699690k除以19的余数循环节数值不会改变，
941是19“留数”，加上有限个或无限个9699690余数循环节不变，其中没有19的倍数。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 16:59

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-22 17:04 编辑

素数27649987598537加在n^2+2x之上形成的欧拉数列最小素因子是41；
素数30431463129071加在n^2+2x之上形成的欧拉数列最小素因子是43；
它们只能称为37留数和41留数喽！

欧拉二次三项式n^2+n+27649987598537和n^2+n+30431463129071的第一素数段链长都是14。
有没有链长39或41的素数链不知。

yangchuanju · 发表于 2022-12-22 19:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-22 19:40 编辑

设k^2+k+7模7余m，那么k^2+k也模7余m；
(k+1)^2+(k+1)+7=k^2+3k+9，模7余m+2k+2；
(k+2)^2+(k+2)+7=k^2+5k+13，模7余m+4k+6；
(k+3)^2+(k+3)+7=k^2+7k+19，模7余m-k+5；
(k+4)^2+(k+4)+7=k^2+9k+27，模7余m+k+6；
(k+5)^2+(k+5)+7=k^2+11k+37，模7余m+3k+2；
(k+6)^2+(k+6)+7=k^2+13k+49，模7余m+5k；
(k+7)^2+(k+7)+7=k^2+15k+63，模7余m。

给定k一个确定的正整数（余数表第一行），
给定一个确定的加数（余数表第一列），
分别计算多项式值和模7余数并列表如下：
多项式k^2+k+7数值表；
k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 7 9 13 19 27 37 49 63
1 9 13 19 27 37 49 63 79
2 13 19 27 37 49 63 79 97
3 19 27 37 49 63 79 97 117
4 27 37 49 63 79 97 117 139
5 37 49 63 79 97 117 139 163
6 49 63 79 97 117 139 163 189
7 63 79 97 117 139 163 189 217
8 79 97 117 139 163 189 217 247
9 97 117 139 163 189 217 247 279
10 117 139 163 189 217 247 279 313
11 139 163 189 217 247 279 313 349
12 163 189 217 247 279 313 349 387
13 189 217 247 279 313 349 387 427
14 217 247 279 313 349 387 427 469

模7余数表：
k 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 2 6 5 6 2 0 0
1 2 6 5 6 2 0 0 2
2 6 5 6 2 0 0 2 6
3 5 6 2 0 0 2 6 5
4 6 2 0 0 2 6 5 6
5 2 0 0 2 6 5 6 2
6 0 0 2 6 5 6 2 0
7 0 2 6 5 6 2 0 0
8 2 6 5 6 2 0 0 2
9 6 5 6 2 0 0 2 6
10 5 6 2 0 0 2 6 5
11 6 2 0 0 2 6 5 6
12 2 0 0 2 6 5 6 2
13 0 0 2 6 5 6 2 0
14 0 2 6 5 6 2 0 0

从余数表容易看到：
不论竖着看，还是横着看，余数都是循环出现的，
7余数一循环（循环节为0,2,6,5,6,2,0）；
循环节两端都是0，两循环节连接处都有两个0；
循环节前后两个半节数字对称相等，中位数5自对称。
各列余数循环节向右上方上错一位。

换成其它素数p，余数也都是如此。

yangchuanju · 发表于 2022-12-23 07:02

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-12-23 07:11 编辑

OEIS网站网页A005846给出10000个n^2+n+41型素数，
其中除第一组素数链长为40外，次长的一组链长仅为13；
笔者向后延伸至第20139个素数（n=120000，多项式数值达到36亿），
本希望找到一些链长大于等于13的素数链，
但遗憾的是，在后1万多个素数中之中的2组链长等于8、2组链长等于7的素数链。

在这个欧拉二次三项式中还应该存在有链长等于39的多组素数链，然而它们藏在哪儿？

链长统计表（单位：组或个）
链长 1-2万内 1万内
1 4574 3916
2 1497 1450
3 509 562
4 162 182
5 60 73
6 11 28
7 2 15
8 2 5
9 0 1
10 0 3
13 0 1
40 0 1

第一组链长等于13的素数链：（n较小，位于多项式的最前部）
n 素数间距
219 48221 ——
220 48661 440
221 49103 442
222 49547 444
223 49993 446
224 50441 448
225 50891 450
226 51343 452
227 51797 454
228 52253 456
229 52711 458
230 53171 460
231 53633 462

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欧拉素数链

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