求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值

独舟星海 · 发表于 2021-9-4 19:15

\(C_5\)=\(1\over {30}\)∏\(({P\over{P-1}})^5{(1-{5\over P_i})}\)，\(P_i\)≥7. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^5\)替换为\({ln}^5(x)e^{5γ}\)，则\(C_5\)=\(1\over {30}\)\({ln}^5(x)e^{5γ}\)\({(1-{5\over P_i})}\)=\(1\over {30}\)\(e^{5γ}{ln}^5(x)\)\({(1-{5\over P_i})}\)，此时已经看到n=5的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

独舟星海 · 发表于 2021-9-4 19:20

独舟星海发表于 2021-9-4 19:15
\(C_5\)=\(1\over {30}\)∏\(({P\over{P-1}})^5{(1-{5\over P_i})}\)，\(P_i\)≥7. P≥2. 把\(({P\over{P-1 ...

把梅腾斯推广公式n=5的值代入上式，就可以或得最密5生素数的系数了。

白新岭 · 发表于 2021-9-4 21:29

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\left\{{log}^n(x)\displaystyle\prod_{P>n}^{P≤x}(1-{n\over P})\right\}\)=\(A_n*C_1^{n-1}C_2^{n-2}C_3^{n-3}......C_{n-2}^2C_{n-1}^1\)\(e^{-nγ}\)

白新岭 · 发表于 2021-9-4 21:31

白新岭发表于 2021-9-4 21:29
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\left\{{log}^n(x)\displaystyle\prod_{P>n}^{P≤x}(1-{n\over P}) ...

上边是天山草先生给的梅腾斯推广公式的表达式。利用上式，可以求出相应k生素数的系数。

白新岭 · 发表于 2021-9-4 21:47

\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\left\{{log}^n(x)\displaystyle\prod_{P>n}^{P≤x}(1-{n\over P})\right\}\)=\(A_n*C_1^{n-1}C_2^{n-2}C_3^{n-3}......C_{n-2}^2C_{n-1}^1\)\(e^{-nγ}\)，当n=5时，等式右边为：\(A_5*C_1^{5-1}C_2^{5-2}C_3^{5-3}C_{5-1}^1\)\(e^{-5γ}\)=\(A_5*C_1^4C_2^3C_3^2C_4^1\)\(e^{-5γ}\)，这里\(A_5\)=7680,\(C_n\)值已有，分别代入即可，式子中的\(e^{-5γ}\)与k生素数的系数中的\(e^{5γ}\)中和，即乘积为1，所以\(A_5\)乘后边的系数后，除30，即为k生素数的系数。

白新岭 · 发表于 2021-9-4 21:54

n值常数演变值方次
\(C_1\) 0.6601618159599460 0.1899335142116300 4
\(C_2\) 0.8198024467614170 0.5509695916065340 3
\(C_3\) 0.6708911371764450 0.4500949179419040 2
\(C_4\) 0.8402588276900470 0.8402588276900470 1
0.0395773241041745 四项相乘
7680 ←A5
303.9538491
最终5生素数的系数→ 10.131794970668700 ←除30

独舟星海 · 发表于 2021-9-5 06:38

∏(1-\(1\over P\))=\(e^{-γ}\over{ln(x)}\)推出\({ln(x)}e^γ\)=∏\(P\over{P-1}\), 所以∏\(({P\over{P-1}})^n\)=\(({ln}(x)e^γ)^n\)=\({ln}^n(x)e^{nγ}\)，而最密六生素数的系数为：∏\({P^5(P-6)}\over(P-1)^6\)，当P≥7时，为此形式，对于素数2，\({2^5(2-1)}\over(2-1)^6\)=\({1\over 2}{2^6\over(2-1)^6}\),同样素数3，\({3^5(3-2)}\over(3-1)^6\)=\({1\over 3}{3^6\over(3-1)^6}\)，同样素数5，\({5^5(5-4)}\over(5-1)^6\)=\({1\over 5}{5^6\over(5-1)^6}\)，当素数P≥7后，\({P^5(P-6)}\over(P-1)^6\)=\({P^6\over(P-1)^6}{{P-6}\over P}\)=\(({P\over{P-1}})^6{(1-{6\over P})}\),把素数2,3,5的放进去：\(1\over {30}\)∏\(({P\over{P-1}})^6{(1-{6\over P_i})}\)，\(P_i\)≥7. P≥2.

独舟星海 · 发表于 2021-9-5 06:43

\(C_6\)=\(1\over {30}\)∏\(({P\over{P-1}})^6{(1-{6\over P_i})}\)，\(P_i\)≥7. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^6\)替换为\({ln}^6(x)e^{6γ}\)，则\(C_6\)=\(1\over {30}\)\({ln}^6(x)e^{6γ}\)\({(1-{6\over P_i})}\)=\(1\over {30}\)\(e^{6γ}{ln}^6(x)\)\({(1-{6\over P_i})}\)，此时已经看到n=6的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

独舟星海 · 发表于 2021-9-5 06:55

\(A_6\)=61440,把\(C_n\)值分别对应代入，则最密6生素数的系数：17.298612365696800
n值常数演变值方次
\(C_1\) 0.6601618159599460 0.1253868536536040 5
\(C_2\) 0.8198024467614170 0.4516862192901750 4
\(C_3\) 0.6708911371764450 0.3019646913353820 3
\(C_4\) 0.8402588276900470 0.7060348975110520 2
\(C_5\) 0.6995361099589560 0.6995361099589560 1
0.0084465880691879 五项相乘
61440 ←A6
518.958371
最终6生素数的系数→ 17.298612365696800 ←除30
以前我给出的6生素数系数 17.298629898083500
差值（以前的--减现在） 0.000017532386696 十万分位
现在的比起以前的更精确，因为以前只计算到1千万多点(8位数），现在计算到了十亿的位置（10位数，差两个数量级）。

独舟星海 · 发表于 2021-9-5 15:10

k值常数
\(C_{2(1)}\) 0.660161815959946000
\(C_{2(2)}\) 0.396880363991144000
\(C_{2(3)}\) 0.282325434167515000
\(C_{2(4)}\) 0.369451404195806000
\(C_{2(5)}\) 0.094895924033400000
\(C_{2(6)}\) 0.085519074654484000
\(C_{2(7)}\) 0.151044081237992000
\(C_{2(8)}\) 0.031085291649464000
\(C_{2(9)}\) 0.036308015942545000
\(C_{2(10)}\) 0.090447394908175000
\(C_{2(11)}\) 0.021370066473140000
\(C_{2(12)}\) 0.067569773355231000
\(C_{2(13)}\) 0.024911631973223000
\(C_{2(14)}\) 0.003983360234142000
\(C_{2(15)}\) 0.006475891918097000
\(C_{2(16)}\) 0.025028738105446000
\(C_{2(17)}\) 0.008705925013859000
\(C_{2(18)}\) 0.001399643430386000
\(C_{2(19)}\) 0.004281176228195000
\(C_{2(20)}\) 0.000570405083269000
\(C_{2(21)}\) 0.001075335725781000
\(C_{2(22)}\) 0.004518451384378000
\(C_{2(23)}\) 0.000842629180425000
\(C_{2(24)}\) 0.004545207783405000
\(C_{2(25)}\) 0.001529509500839000

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