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本帖最后由 春风晚霞 于 2023-1-4 22:41 编辑
@ysr先生:
你2023-1-3 11:17发表在57#的点评是“应该规定当a<0时，若n为偶数则（a开n次方）^n=-a，若n为奇数则（a开n次方）^n=a”吧？我在74#对这条点评的回复是:“应该规定当a<0时，若n为偶数则（a开n次方）^n=-a，若n为奇数则（a开n次方）^n=a”.ysr先生，当a<0时，\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)=-a？作为特例取a=-1，n=2；则\((\sqrt{-1})^2\)=-1≠1；所以a<0时，\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)=-a是没有道理的。\((\sqrt[2k+1]{a})^{2k+1}\)=a这倒没有什么问题。”“像a<0时，\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)=-a这种违背数理逻辑的规定过去没有，现在没有，将来也不会有！”看来先生对这样的回复耿耿于怀。
为回复你发表在77#的点评“我前面说的规定和你的法1是一致的不矛盾的，如果规定不对，那你的法1的结果就是错的，-8是对的”；“当a<0的时候，对于a^(m/n),若n为偶数可能是必须先开方再算乘方，当n为奇数时则不分先后结果都对。”我分层次回复于后:
①、代数运算的顺序和法则:“实数运算先算乘方(开根)，再算乘除，最后算加减;如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行。”是数学中进行加减乘除乘方开方运算时，由人们共同制定的，默认的计算次序。(参见初中代数第二册第一章知识点2)。所以先生认为这个运算顺序是我的规定，那简直太抬举我了。我虽坚持这个运算顺序和法则，但我并没有参加初中教材编写工作嘛！怎么能说这个规定就是我的呢？
②、我对你的规定的回复:“a<0时，\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)=-a是没有道理的。”这个“没有道理”不是运算顺序没有道理，而是等式根本就不成立。同时a<0时，\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)的意义也不劳先生规定，任何一本讲复数基础知识的教科书对此都有明确规定。不知先生注意到a≥0时\((\sqrt[2k]{a})^{2k}\)的数学意义是“数a的2k次算术根”，即数a的2k次方根中大于零的那个2k次方根。当a<0时，\(\sqrt[2k]{a}\)的数学解释为“数a的2k次复根”，这是因为复数域上任意两个复数不能比较大小(参见高等学校试用教材《初等代数研究》(高等教育出版社出版)上册P127页末行—P128页6行)。所以根据这个规定\(\sqrt[2k]{a}^{2k}\)=a，而不是\((\sqrt[2k]{a})^{2k}=-a\)。
③a<0时，\(\sqrt[2k+1]{a}\)教科书是这样定义的\(\sqrt[2k+1]{a}\)=\(-\sqrt[2k+1]{| a |}\)(参见高等学校试用教材《初等代数研究》(高等教育出版社出版)上册P199页1—4行)。所以根据教科书的规定，先生给出的\(\sqrt[2k+1]{a}^{2k+1}=a\)是没有问题的。
④“当a<0的时候，对于a^(m/n),若n为偶数可能是必须先开方再算乘方”是不对的，当a<0时，计算\(a^\frac{m}{n}\)的顺序仍然是\((a^m)^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a^m}\)，否则出错，如计算\((-1)^\frac{2}{4}\)=\(((-1)^2)^\frac{1}{4}=\sqrt[4]{1}\)=1，而因为\((-1)^\frac{1}{4}\)=\(\sqrt[4]{i^2}\)=cos\(2Kπ+π\over 4\)+isin\(2Kπ+π\over 4\)\(\;\)k=0，1，2，3，所以\(((-1)^\frac{1}{4})^2\)=\((\sqrt[4]{-1})^2\)=cos\(2(2Kπ+π)\over 4\)+isin\(2(2Kπ+π)\over 4\)=cos\((kπ+\frac{π}{2}))\)+isin\((kπ+\frac{π}{2})\)\(\;\)k=0，1，即\(((-1)^\frac{1}{4})^2=±i\).
ysr先生，你还觉得你的那个“当a<0的时候，对于a^(m/n),若n为偶数可能是必须先开方再算乘方”还正确吗？这种毫无根据的“必须”还必须吗？
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发表于 2023-1-2 17:58
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