共同欣赏数学花园中的奇葩：有关素数的无穷级数和无穷乘积

顽石

                  任意间隔的素数群数量估算
素数的数量、双生素数对的数量、由两个靠得最近的双生素数对组成的四生素数群的数量、还有其它2生、3生、4生、5生、6生、…、n生素数群的数量，都可以用一个近似式估算。
设：H数列，为素数的间隔数列：1，1，2，2，4，2，4，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，2，6，…。依次是2与1，3与2，5与3，7与5，11与7，13与11，…之差，除了1以外，都是相邻的两个素数之差。
设：K数列，为素数群中各个素数与群内第一个素数之差，被从2至Pm的各个素数依次相除后的同余种数数列。
设：Cn（P^2），为P^2以内的正整数中n素数群的数量。
那么，n素数群数量估算式为：

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2008/12/18 08:21am 第 2 次编辑]

我特别希望天山草老师能够注意这个n素数群数量估算式。
我在我的《从素数的素数群猜想》一书中，着重谈了这个 n 素数群数量估算式，这个估算式的右边是：Pm 乘以一个连乘，而这个连乘是一条不光滑的山谷形曲线。不同的 n 就有不同的山谷形曲线，并且，同一个 n 因为素数间隔不尽相同，也可能有不同的山谷形曲线。
但是，当 H 的平均值小于 K 时，是下坡曲线；
H 的平均值等于K 时，存在大于 0 的谷底值一个或者几个；
H 的平均值大于K 时，是上坡曲线，并且不断向上缓慢增加。Pm值当然是无穷增大。
因此，Pm 乘以一个连乘积的值，随着 Pm 的无穷增大而无穷增大。 n 素数群的大小，随 n 的不断增大而无限增大，素数的平均间隔也是无穷增大。但是，任何具体的素数群大小，最终都将被素数平均间隔超越。因此，n生素数群数量无穷多！
上述，当然是非常粗糙的猜想！也希望各位大师都能关注！

天山草

    顽石先生的猜想和公式很是有趣。能否用您的公式先算一算：
    不大于 X 的、间距为 2 的素数有多少对 ？
    不大于 X 的、间距为 4 的素数有多少对 ？
    不大于 X 的、间距为 8 的素数有多少对 ？
    不大于 X 的、间距为 16 的素数有多少对 ？
    它们的数量一样多吗？

顽石

天山草老师您好！
按照我的公式，间距为2，4，8，16，32，等2的n乘方，因为两个素数，第一个素数与自身间隔为0，第二个素数与第一个素数的间隔为偶数：2^n ，那么，0和 2^n 被 2 除后的余数皆为0，余数皆为1种；被 3 除后的余数分别为0，和1或者2，余数皆为2种；被 5 除后的余数分别为0，和1或者2或者3或者4，余数皆为2种；被 7 除后的余数分别为0，和1或者2或者3或者4或者5或者6，余数皆为2种；被 11 除后的余数分别为0，和1，2，3，4，5，6，7，8，9，10之中的一个，余数皆为2种；……等等。因此 K 数列皆为： 1，2，2，2，2，……，当然，估算结果都是相同的。我的计算能力很差，只能在小范围计算，我在明天回答天山草老师。
另外，四个素数分别间隔为 0，2，6，8 的四生素数群的 K 数列为：1，2，4，4，4，4，4，4，4，4，……，八个素数分别间隔为 0，2，6，8，90，92，96，98 的八生素数群的 K 数列为：1，2，4，5，6，8，8，8，6，8，8，8，7，7，7，8，8，8，8，8，……，单生素数的 K 数列，当然是：1，1，1，1，1，……了。

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2008/12/18 11:17am 第 2 次编辑]

哥德巴赫猜想就是一种 2 生素数猜想。只要把第一个素数看成负数就行了，两者之差为一个偶数2m，例如：3 - （-7），5 - （- 5），7 - （- 3）都是10，就是偶数10可以分拆为 3 组两个奇素数之和的形式：（3 + 7） =（5 + 5）= （7 + 3）= 10，因此，同样适合 n 生素数群数量估算式。但是，不同的偶数就有不同的 K 数列，当然就有不同的山谷形曲线。包含3，5的因数的偶数，要比其它的偶数的山谷形曲线位置要高。因此，素数对的数量就多。仅仅由2因数构成的偶数分拆成素数对的数量一般最少。
2 生素数对的谷底值是：
0.5；
四个素数分别间隔为 0，2，6，8 的四生素数群的谷底值是：0.07219251336898395721925133……；
八个素数分别间隔为 0，2，6，8，90，92，96，98 的八生素数群的谷底值是：0.00104……。
因此，可作如下猜想：
不大于 Pm 平方的挛生素数对数量（包括其它 2 生素数对数量）一定大于0.5 Pm ；
奇素数 Pm平方 + 1 的偶数分拆素数对数量，一定大于0.5 Pm ；
不大于 Pm 平方的上述四生素数群数量，一定大于0.072 Pm ；
不大于 Pm 平方的上述八生素数群数量，一定大于0.00104 Pm

wangyangke

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4305

尚九天

    羊客先生受过良好的数学训练，
                                ---- 令人欣羡!
    但囿于成见,过分迷信权威，
                              ---- 是否应当变变？

顽石

望洋先生：
我知道你的水平相当高，我等民科仅仅到这里以玩的心态向你们学习学习，快乐快乐而已，可能对你有过冒犯，希望多多包涵！

申一言

wangyangke :高!实在是高!高家诃子,马甲村!

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2008/12/19 10:53pm 第 1 次编辑]

回答天山草老师提问：
一.例如，根据n生素数群数量估算公式计算结果，在不大于97^2 = 9409的正整数中，2生素数对有180.168…个。其实这个估算式是2生素数筛法，已经将2至97的素数及其组成的合数，筛去了，因此，含有2至97的素数的素数对不存在了。
二.查素数表，实际不大于9409的孪生素数对为194个，减去含有97及其以下的素数的孪生素数对8个，因此，符号公式的孪生素数对是186个。
三.实际不大于9409的间隔为4的2生素数对为190个，减去含有97及其以下的素数的这种2生素数对9个，因此，符号公式的间隔为4的2生素数对是181个。
四.实际不大于9409的间隔为8的2生素数对为199个，减去含有97及其以下的素数的这种2生素数对9个，因此，符号公式的间隔为8的2生素数对是190个。
估算值与三个实际值的平均差为：5.4987…，
五.上述估算，若选择不大于10000 = 10000/97×97的正整数，更准确：
估算值：191.485…
符合公式的孪生素数对：196
符合公式的间隔为4的2生素数对：189
符合公式的间隔为8的2生素数对：198
平均差为2.848…，因为，数值太小，所得到的结果不太理想。[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 顽石 在 时添加 -=-=-=-=-
间隔为16的2生素数对，用手工一个一个地寻找起来更麻烦，我没有便捷的方法可用，已经被我省略了。