方程X^n+Y^n=Z^n(n>1)的解法（终极证明完整版）

fmcjw

谢谢“奇数的世界”先生！您的热心肠真的很让人感动。但是没有真正理解费马大定理的正是先生啊。
      你说 “要X^n+Y^n=Z^n成立，X,Y,Z相互之间的确有限制，比如你说的X+Y>Z，Z>X,  Z>Y,但这只是它们之间的关系。。。”。
不是我说的，是这个方程告诉我们的。X+Y>Z，Z>X,  Z>Y,的确是它们之间的关系。而且X,Y,Z相互之间必定要两两互质，这些都是常识。
       你又说“而X单独来讲，是可以任意取值的，Y单独来讲，是可以任意取值的。你其中的（3）是有问题的，而且X可以等于Y的，比如n=3,X=2,Y=2,Z=16^（1/3)，对于X^n+Y^n=Z^n一样的成立。此时的X,Y可以取任意整数，但要X^n+Y^n=Z^n（n>2)成立，Z就不可能为整数，为什么会这样？这才是证明的关键。”

      你说的这些方法是最原始的方法，任意给定两个数xy,必可求得z的值，这样得到的一组数X,Y,Z当然满足方程X^n+Y^n=Z^n，但只要n>2，X,Y取正整数必定得到一个非整数z,为什么会这样？正是因为在我们没有求得方程X^n+Y^n=Z^n的一般通解时是无法回答的问题， 也的确是证明的关键。这正如勾股定理一样，对于方程X^2+Y^2=Z^2,如果毕达哥拉斯没有给出他的关于这个方程的正整数解的一般通解式时，人们也像你一样任意地去给定两个数X,Y，且X可以等于Y，但所得大部分数组都不是X^2+Y^2=Z^2的正整数解，人们也与你一样问为什么会这样呢？当有了毕达哥拉斯的正整数解的一般通解式时（尽管人们至今都不知他是怎样得到的通解式），人们就不会再问这样的问题了，转而变成是去问毕达哥拉斯是怎样得到的这个通解式呢？因为这个通解式告诉了人们什么样的数组才是方程X^2+Y^2=Z^2的正整数解。可惜的是毕达哥拉斯不喜欢无理数，当然就不会去研究这个方程的非整数解，因而在下才有机会给出方程X^2+Y^2=Z^2的通解式，并且是包含所有正整数解和非正整数解的通解式。进而又在此基础上求出了方程X^n+Y^n=Z^n在n>1时的一般通解式，由此通解式即可知n=2,方程X^n+Y^n=Z^n有无穷个正整数解，n>2,就不可能有正整数解，但却有无穷多的非正整数解。依先生的理解这就叫误入歧途？那我这歧途也是跟着毕达哥拉斯走入的。
       “你其中的（3）是有问题的，而且X可以等于Y的，比如n=3,X=2,Y=2,Z=16^（1/3)，对于X^n+Y^n=Z^n一样的成立。此时的X,Y可以取任意整数，但要X^n+Y^n=Z^n（n>2)成立，Z就不可能为整数，为什么会这样？这才是证明的关键。”
       你认为X可以等于Y？x=y,z还可能是整数吗？难道先生不会证明x=y，z就绝对不可能是整数啊。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-28 05:28
谢谢“奇数的世界”先生！您的热心肠真的很让人感动。但是没有真正理解费马大定理的正是先生啊。
      你 ...

看我说了半天，好像是又白说了。毕达哥拉斯是针对X^2+Y^2=Z^2来求出通解的，可以说与费马大定理没多大关系。因为毕达哥拉斯的n=2，而费马要求的是n>2！在X^n+Y^n=Z^n,(n>2)的整数解是不可能X,Y,Z相互之间两两互质的，你可以举几个实际的X,Y,Z解例子来说明它们是两两互质的。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-28 05:28
谢谢“奇数的世界”先生！您的热心肠真的很让人感动。但是没有真正理解费马大定理的正是先生啊。
      你 ...

"你认为X可以等于Y？x=y,z还可能是整数吗？难道先生不会证明x=y，z就绝对不可能是整数啊。"

对于X^n+Y^n=Z^n（n>2)，X=Y或X≠Y，X,Y为整数时，Z都不可能为整数的。你认同吗？如不认同，你可以举个实际的例子给我。

fmcjw

奇数的世界 发表于 2015-10-28 10:59
看我说了半天，好像是又白说了。毕达哥拉斯是针对X^2+Y^2=Z^2来求出通解的，可以说与费马大定理没多大关 ...

在如下证明中不仅仅才给出几个例子，而是给出了无穷多的例子了。在X^n+Y^n=Z^n,(n>2)的整数解是必须两两互质的。n=2与n>2都一样。

因a,b,c不是两两互质的，a,b中就必定有一个能被另一个整除，令a=mb,m>1,则有
                                        (mb)^n+b^n=c^n
即
                                        b^n(m^n+1)=c^n
所以有
                                        c=[ b^n(m^n+1)]1/n
                                          =b(m^n+1)^1/n
因为m^n+1不可能是完全n次方数，则(m^n+1)^1/n必定为非整数，从而使c也为非整数。这就证明了为什么任意三个正整数a,b,c一定不满足方程X^n+Y^n=Z^n。

fmcjw

奇数的世界 发表于 2015-10-28 11:04
"你认为X可以等于Y？x=y,z还可能是整数吗？难道先生不会证明x=y，z就绝对不可能是整数啊。"

对于X^n ...

对于X^n+Y^n=Z^n（n>2)，X=Y或X≠Y，X,Y为整数时，Z都不可能为整数的。你认同吗？如不认同，你可以举个实际的例子给我。

无论n>2还是n=2，x都不能等于y.X=Y与X≠Y就使得方程X^n+Y^n=Z^n变成了两个性质完全不同的方程了。若X=Y，则有X^n+X^n=Z^n或Y^n+Y^n=Z^n,即2X^n=Z^n或2Y^n=Z^n，请问先生这样的方程还与费马定理有关吗？这样的方程2X^n=Z^n或2Y^n=Z^n还需证明有无正整数解吗？

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-28 13:22
在如下证明中不仅仅才给出几个例子，而是给出了无穷多的例子了。在X^n+Y^n=Z^n,(n>2)的整数解是必须两两 ...

我需要一个实际例子，从你的通解算一个实际的来吧。

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-28 13:40
对于X^n+Y^n=Z^n（n>2)，X=Y或X≠Y，X,Y为整数时，Z都不可能为整数的。你认同吗？如不认同，你可以举个实 ...

X=Y和X≠Y是两种情况，都和费马大定理有关。这两种情况都需要证明。
你还没有回答我问题呢。
对于X^n+Y^n=Z^n（n>2)，X=Y或X≠Y，X,Y为整数时，Z都不可能为整数的。你认同吗？

奇数的世界

fmcjw 发表于 2015-10-28 13:22
在如下证明中不仅仅才给出几个例子，而是给出了无穷多的例子了。在X^n+Y^n=Z^n,(n>2)的整数解是必须两两 ...

“在X^n+Y^n=Z^n,(n>2)的整数解是必须两两互质的。n=2与n>2都一样。”

n=2与n>2都一样？我说不一样。
n=2时，30^2+40^2=50^2,请问30和40互质吗？

fmcjw

fmcjw 发表于 2015-10-28 13:40
对于X^n+Y^n=Z^n（n>2)，X=Y或X≠Y，X,Y为整数时，Z都不可能为整数的。你认同吗？如不认同，你可以举个实 ...

点评

奇数的世界
对于方程X^n+Y^n=Z^n，当我想把X=2,Y=2代入此方程来验证费马大定理，费马会说这样不行吗？  发表于 2015-10-28 13:59
   
先生愿意去做验证Z=(2)^1/n*N是否为正整数的无用功谁也拦不住啊。

fmcjw

奇数的世界 发表于 2015-10-28 13:54
X=Y和X≠Y是两种情况，都和费马大定理有关。这两种情况都需要证明。
你还没有回答我问题呢。
对于X^n+Y ...

当然是的