增乘法在算法优化中的作用

蔡家雄

求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .

这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。

蔡家雄

求 4/409=1/104+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*104)^2=409^2*2^6*13^2,

设 409 ≡ 3  (mod 7 ),

求 (2*3*13)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ),

t3:   3 ≡ 3 =3  (mod 7 )
t7:   3 ≡ 24 =2^3*3  (mod 7 )
t1:   3 ≡ 52 =2^2*13  (mod 7 )
t9:   3 ≡ 192 =2^6*3  (mod 7 )
t6:   3 ≡ 416 =2^5*13  (mod 7 )
t5:   3 ≡ 234 =2*3^2*13  (mod 7 )
t10: 3 ≡ 507 =3*13^2  (mod 7 )
t2:   3 ≡ 1872 =2^4*3^2*13  (mod 7 )
t8:   3 ≡ 4056 =2^3*3*13^2  (mod 7 )
t4:   3 ≡ 32448 =2^6*3*13^2  (mod 7 )

以上式子中，把因子 3 改为 409，

就是求得 (409*104)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*104)^2,

则 x=102+2,  y=(w+t1)/(4*2 -1),  z=(w+t2)/(4*2 -1) .

蔡家雄

设 120d+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

蔡氏增乘法质数：120d+49=769,  1129,  1609, 2689,  3769,  4129,  4969,  7369,  7489,  8329,  8929,  9049,  ......

蔡家雄

设 d=(30k+11)m+26k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+11,  t2= (30d+16)^2/(30k+11),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+11)*(30m+26),

蔡家雄

设 d=(15k+13)m+11k+9,

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

得 t1=30k+26,  t2= (30d+16)^2/(30k+26),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

且 x=(30k+26)*(15m+11),

wlc1

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