与梁增勇朋友交换意见

zengyong

6、“定理2  一个新顶点与一个标准双迹图Gk 的顶点邻接，总可以完成一个新的标准双迹图Gk+1的正常4-着色。
证 一个新顶点与一个标准双迹图Gk 的顶点邻接，他将会遇到以下几种情况：
1）新顶点与旧迹的端点邻接。(可参照3.3着色的图3)
2）新顶点与旧迹的中间顶点邻接。(可参照3.3着色)
3）新顶点与旧迹的偶圈顶点邻接。”
这样的证明是否有点太简单了。连一个图也没有。
答：图在图2已经有了，还有很多文字，没有必要重复。这里文字改为：
1）新顶点与旧迹的端点邻接。(可参见3.3着色的图2)
2）新顶点与旧迹的中间顶点邻接。(可参见3.3着色的图2)
3）新顶点与旧迹的偶圈顶点邻接。(可参见3.3着色的图2)


7、“以上的迹的方向与顶点顺向。”  这是什么意思？

zengyong

8、“G和G’显示如何使用破圈法把新顶点V1用黑色后出现的A-B迹的奇圈（W3和W7）“破”去。”图4中没有W3和W7呀!

答：这里有点像叫小朋友在森林里找小白兔。请认真看图找圈.

zengyong

9、“即将本来是A-B迹的v2 顶点改为C-D迹的顶点。G’’和G’’’显示如何保持A-B迹的偶圈（W10）的另一种着色方案。”；图4中也没有W10呀i你的图中就
没有A,B,C,D字样出现，在这里谈什么A-B迹与C-D迹呢？

答：A-B迹与C-D迹是大的集合总称，四种颜色具体分a、b、c、d 或1、2、3、4，对应黑色，白色，深灰色和
浅灰色。是A-B迹的黑色v2 顶点改为C-D迹的灰顶点。

正确的 说法还是“将本来是A-B迹的v2 顶点改为C-D迹的顶点”。因为到最后，如果迹的颜色不合适，还是要调整的。不管怎么调，还是在本迹调整。

zengyong

10、“以下迹的方向与顶点横向”又是什么意思呢？

zengyong

下面是回答另一帖的 问题：

1、你的图画得有毛病。用黑，白，深灰和浅灰，文字再就不应再用A，B，C，D了。但你的图中的深灰和浅灰实在是分不开的，你可以看一看，不如直接就用字母代表颜色还要明了一些。

答：这里图那么多顶点用字母能标明白吗？A-B迹和C-D迹是对这两大类迹的总称，图没有用A，B，C，D表示颜色，用a,b,c,d和黑，白，深灰，浅灰标明顶点颜色。具体用什么表示，看具体情况。我觉得深灰和浅灰我看得很清楚，图很干净（有些地方我认为需要再加文字）。，即使难分辨，深灰和浅灰是同一个迹的颜色，只要两大迹没有画错（看得清楚），双迹图肯定没问题。

2、你的关键一步——图5，不把一步一步如何变化分开画图，而画了同一个图的不同画法，十在是没有意义。从你仅有的一个图G＇和G＇＇是看不出你是如何改动（破圈）的，也不可能看清你是如何最后得到G＇＇＇的。这样你的方法再好，看不明白，就等于对读者没有任何作用一样。

答： 画不同的形状只是说明不同形状的图有可能是相同的原图，你觉得不好，我就少一两个。这里并没有“破圈”。只是移动顶点颜色而已。你仔细看清楚。


3、另外你的图5中的图G＇＇＇中，有两个D色顶点是相邻的，所以你对我这个图的着色是错误的。
答：说的是，把d 颜色改为A就行了。见下图

zengyong

4、“即任何复杂的三角形结构连通平面图都可以通过逐个添加顶点完成原图的再现。”这里的“原图”是指什么呢？三角形结构就是说所有面都是三角形面，为什么还要增加顶点呢，增加后的顶点都是只能与三个顶点相邻，有什么意义呢。

答：你认真看和理解我的证明方法。我是用逐个添加顶点的方法来构造任何一个复杂的原图。或称三角形结构连通图。比如，你画图不是一个一个顶点添加画成整张图吗？着整张图就是原图。画一个有n个顶点的三角形结构连通图是不是由一个顶点增加到n个顶点？

5、根据你的双迹法原理，我想是可以证明四色猜测是否正确的，但问题是你一定要把文章写得叫人们能看明白，这是最主要的。我认为你是关键的地方不去祥写，而把一些不是关键的地方写得那么祥细是没有用的。
答：我不明白你只的关键地方是什么。
6、你的想法是否能成立，关键盘在于你开始就认为任何平面图一定是双迹的，这个双迹，就是说任何平面图就是用四种颜色着色的。对于小于四种颜色的图，还可以认为有一种颜色的顶点都是独立顶点迹。但在还没有证明四色猜测是正确以前，你能保证任何平面图都一定是四色的吗。如果有第五种颜色出现，那不就是不能说任何平面图都不一定是双迹图吗。
答：我的证明逻辑很清晰：
1、首先说明什么是双迹图。
2、定理3  证明双迹图的色数是不大于4色的。
3、 定理4  任何一个复杂的三角形结构连通平面图都可以变为双迹法结构的图。
4、定理5  任何复杂的标准双迹图色数不大于4。
    （定理4和定理5可对调）

4、根据定理3、定理4和定理5就可以证明
定理6  任何三角形结构连通图色数≤4。

注意：在这前面，我从没有一句“任何平面图都一定是四色的”

只有证明了定理6，才可以证明

定理7 即四色定理-----任何复杂的平面连通图的色数不大于4。
这里才说“任何平面图都一定是四色的”。

逻辑上应该没有 什么矛盾。


7、这就是我以前的贴子上说你可能会出现循环论证的原因。现在看清楚了吧，你的出发点就是认为四色猜测是正确的，最后证明的结果仍是四色猜测是正确的。这等于没有证明。白下功夫。
8、你的“任何平面图都是一个双迹图”的命题，等同于四色猜测。所以你想证明四色猜测，就只要证明任何平面图都是双迹图就可以了。祝你成功。

7、8、和6是一个意思，不用回答了。我在定理7的证明之前有哪句说“四色猜测是正确的”？
另外，你说的有点不明白：你说
“你的出发点就是认为四色猜测是正确的，最后证明的结果仍是四色猜测是正确的”

我答：有哪个“不认为四色猜测是正确的，最后证明的结果仍是四色猜测是正确的”？
难道“最后证明的结果“应该是”四色猜测是不正确的”？
或者说“认为四色猜测是不正确的，最后证明的结果仍是四色猜测是正确的”？
我都听糊涂了。

最后，还是应该谢谢雷明朋友的建议。让我发现不少错漏和说不清楚的地方并修改完善。

雷明85639720

回复增勇朋友的回答
       你对我第一问的回答我回复如下：
       解释得很明白。但你的图33.JPG的左图G中，黑白迹并没有形成圈呀，更不是什么奇圈了。只能说将要进行着色的“×”顶点，已经于着有黑，白，深厚感情灰和浅灰的四种颜色的顶点都相邻，出现了颜色冲突。并不是你认为的“在打‘×’处有两个白色的顶点邻接（颜色冲突）”。因为这个顶点你还没有着色，怎么能说是“两个白色的顶点邻接”呢。这就是我说你用了黑，白，深灰和浅灰四种颜色不合适的原因，直接用字母表示颜色可能会好一些。着了白色的顶点是“白色”的，未着色的顶点也是“白色”的，该如何去区分呢。你认为是着了“白色”的顶点，我还可以认为你是没有着色呢。当你把“×”顶点着成了黑，深灰或浅灰时，不就是两个黑色的顶点邻接发生了颜色冲突吗，或者是两个深灰色的顶点邻接发生了颜色冲突，或者是两个浅灰色的顶点邻接发生了颜色冲突吗。所以说你不要提出什么奇圈了，就提发生了颜色冲突就是了。这样，读者容易看明白，况且二色迹永远也是不可能构成奇圈迹的，在这里谈二色圈时用“奇圈”是多余的。你的两种处理办法G＇和G＇＇都是对的，当然还可以给“×”顶点着上其他的两种颜色。你还可以把这个“×”顶点叫做“待着色顶点”或“未着色顶点”。你的处理过程，说得还是太简单，没有一步一步说清楚（并且一定要配图）。
       不知我这样讲你能明白不，可不可以接受。如果觉得我说得有道理，你就改过来，。别人能看明白，就是你写文章的目的。否则还硬要坚持你的意见，我也就不想多说了。以前我说得也很多了。光这一个让读都能看明白，我已说了不知多少次了，到现在你仍然是这样。我也没有办法了。只好我就不说了。

zengyong

答雷明朋友：
关于你提到的图33见下图：（解释原文如下）
有一个11顶点的A-B迹的奇圈，同时在打“×”处有两个白色的顶点邻接（颜色冲突）。经过消除奇圈的处理，把A-B迹奇圈上的一个顶点该为C-D迹的顶点，A-B迹奇圈就不再存在。见右图。另外，还可如G’’’处理。

在图中很明显的一个由11个黑白色顶点（即A-B迹的顶点）构成的奇圈W11,你怎么看不见呢。只不过它还带着一条尾巴而已。
A-B迹的顶点就是由黑白色顶点组成，这里也没有什么新顶点。我是将黑白色相间隔排放，到此处就出现了两个白色的顶点邻接（颜色冲突）。这一说法
和图的 表示不是很清楚吗？
听了你以前的 意见，我已经将新顶点用浅灰色来画了，见85楼图3473        。我觉得这样也 很好。

zengyong

“2、你说：“ 因为在不正确的着色过程中也可能出现奇圈，而造成迹不能正常2-着色。这是在标准双迹图中所不允许出现的，因此，我们不打算把奇圈作为双迹     图 的不可避免构形。”这里说的“不可避免构形”的定义是什么，一定要说清楚。另外，“不打算把奇圈作为”中的“奇圈”是指什么“奇圈”呢，奇2色迹的色圈在双迹图中是不可能存在的，但“奇圈”在图中可是不可避免的呀。

况且二色迹永远也是不可能构成奇圈迹的，在这里谈二色圈时用“奇圈”是多余的。”

答：从以上你说过的 话，说明你在奇圈这个问题上和我有较大的分歧。
       我认为奇圈是图论中众所周知的图，它的色 数是3. 在规划迹的分布过程中，经常会遇到的情况。是影响正确作好标准双迹图的关键因素。
这是不可不提的。关键是怎么提才正确。

按照你说的“况且二色迹永远也是不可能构成奇圈迹的，在这里谈二色圈时用“奇圈”是多余的。” 逻辑，
就可以推出
“况且4色永远也是不可能构成5色图的，在这里谈四色定理证明也是多余的。”
这样一个错误的结论。

其实，图33不就明摆着由2色迹构成的奇圈吗？（注意：它只是在规划迹的 分布出现错误时的情况）。
我在这里提出这个问题就是更好的让读者明白怎么实现双迹法画出的标准双迹图。有什么不 可以呢。

雷明85639720

你的W11明明不是黑白圈，其中有两个顶点是白色的，就构不成黑白迹圈嘛。你为什么说它是奇圈迹呢。所以我说你的图中就没有黑白圈的迹。因为你要着色的那个顶点是白色的，所以你认为是两个白色冲突了，我还认为是两上黑色顶点冲突了呢，难道不可以吗。不但可以认为是两个黑色顶点冲突了，还可以认为是一个顶点与两个浅灰色顶点冲突了呢。因为与这个顶点“×”相邻的四个顶点分别着上了黑，白，和浅灰色。
你85楼的图4373根本就与这里的图33.JPG的G图是不相同的，你改了那个图，对这里的图33.JPG的G的着色有什么关系呢。你在这里的着色中，首先你是把中间一行左起第二个顶点颜色由黑改成了浅灰色，然后再从该顶点向右进行黑白迹的交换，得到了你的最终结果图图33.JPG的G＇。但为什么要首先把中间一行的左起第二个顶点由黑改成浅灰色，再由该顶点向右进行黑白迹的交换，你说明原因了没有，说明没有说明为什么要这么做呢。难道不能直接把顶点“×”着以深灰色，不要先去破圈，问题不就立即解决了吗。你的G＇＇图中仅管“×”顶点也用了深灰，但你还是在前面“破圈”的基础之上进行的。你为什么还一定要“破圈”呢，是破那个圈呢。如果图中没有任何二色圈（迹），那该怎么办呢。请你一定要回答我提出的这一问题。
你“觉得这样也很好”，叫我看就是错误的，而且是非常错误的。那有这样不接受别人的意见的。