非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2009/09/03 07:16am 发表的内容：
请教陆老师：
我猜想，您是不是有这么一个回帖原则：凡是数学问题一定热心回帖，凡是哲学问题一概不回。
是不是这样呢？我猜得对不对呢？

对。我觉得数学问题就是要用数学理论、数学方法来解决，不可能用哲学理论、哲学方法来解决。
那些对数学本身只知道一些皮毛、却在数学论坛中大谈哲学的人，我觉得都是在胡说八道。
但我也不想与这些人去争论，因为与一些永远也不肯承认自己错误的人去争论，只能是白白浪费精力和时间。

ygq的马甲

下面引用由luyuanhong在 2009/09/03 03:22pm 发表的内容：
对。我觉得数学问题就是要用数学理论、数学方法来解决，不可能用哲学理论、哲学方法来解决。
那些对数学本身只知道一些皮毛、却在数学论坛中大谈哲学的人，我觉得都是在胡说八道。
但我也不想与这些人去争论，因 ...

不同的“哲学”，涉及到的【公理】，会有些不同的

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/09/03 03:22pm 发表的内容：
对。我觉得数学问题就是要用数学理论、数学方法来解决，不可能用哲学理论、哲学方法来解决。
那些对数学本身只知道一些皮毛、却在数学论坛中大谈哲学的人，我觉得都是在胡说八道。
但我也不想与这些人去争论，因 ...

谢谢陆老师的回复！
虽然我们在数学与哲学的关系上认识不同，但我一定尊重您的原则，在今后的讨论中会尽量避开哲学问题，只谈数学问题。
接下来，继续我们的讨论：
1、我想明白一下，您在本贴介绍的内容，哪些属于鲁滨逊非标准分析的原创，哪些是您的理解和发挥？比如：关于超实数的几何解释，放大镜和望远镜都是鲁滨逊的原创吗？把数轴看成半圆应该是您的发挥吧？如果是的话，那么，用整圆来对应于整个实数轴，是不是我们二人合作的结晶？
2、我还有个想法，用整圆来对应所有的“数”，即用上半圆来表示实数，再用下半圆来对应超实数，这样我们就能不用望远镜也能清晰地看到所有的“无穷大”点，您想一想，这样是不是更好一些？

jzkyllcjl

这个显微镜的说明是美国书上有的，但我们要讲道理里！首先应当说明：点有没有大小？没有大小的点，在显微镜下仍然是没有大小！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/04 01:31am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/09/03 06:30pm 发表的内容：
谢谢陆老师的回复！
虽然我们在数学与哲学的关系上认识不同，但我一定尊重您的原则，在今后的讨论中会尽量避开哲学问题，只谈数学问题。
接下来，继续我们的讨论：
1、我想明白一下，您在本贴介绍的内容，哪些属于鲁滨逊非标准分析的原创，哪些是您的理解和发挥？比如：关于超实数的几何解释，放大镜和望远镜都是鲁滨逊的原创吗？把数轴看成半圆应该是您的发挥吧？如果是的话，那么，用整圆来对应于整个实数轴，是不是我们二人合作的结晶？
2、我还有个想法，用整圆来对应所有的“数”，即用上半圆来表示实数，再用下半圆来对应超实数，这样我们就能不用望远镜也能清晰地看到所有的“无穷大”点，您想一想，这样是不是更好一些？

我感觉得到，你讨论问题的态度确实很诚恳，对数学问题也真的很感兴趣。所以，我也很愿意与你一起继续讨论下去：

天茂

下面引用由jzkyllcjl在 2009/09/03 08:30pm 发表的内容：
这个显微镜的说明是美国书上有的，但我们要讲道理里！首先应当说明：点有没有大小？没有大小的点，在显微镜下仍然是没有大小！

这个地方确实有点不讲形式逻辑的道理。
不过，现代数学对于”点“是否有大小的问题是采取回避的态度，既不说有大小，又不说没有大小。，因为这样的任何一种说法都将引出矛盾。
在这个地方仍然是不讲形式逻辑的道理。
其实，从非欧几何就开始，人们发现只要一遇到无穷问题，就不能采取绝对确定的说法了，否则，就会给自己造成困境。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/09/03 11:38pm 发表的内容：
我感觉得到，你讨论问题的态度确实很诚恳，对数学问题也真的很感兴趣。所以，我也很愿意与你一起继续讨论下去：

很感谢陆老师能继续和我讨论下去。
但是，从回帖来看，陆老师并不完全回避哲学问题，而是认为最终解决数学问题只有依靠数学，而不能依靠哲学。这一点我完全同意。
我只是觉得：只要是涉及到“无限”的数学问题，事实上就已经与哲学已经挂上钩了。而且，就“物极必反”这样的哲学原理如何在数学上应用，并不是找几个极限算一算那么简单。对于这个问题的讨论我要尊重您的意愿，如果您愿意的话，我才敢继续进行。
下面我们再谈一个数学问题：
虽然实数和超实数不是排斥关系，但实数和无穷大量肯定是排斥关系吧？那么，按照形式逻辑思维，互为排斥的两个事物必定会有一个截然分明的分界。现在请教陆老师：实数和无穷大量之间有没有一条明确的分界线呢？如果有的话，分界线在哪里呢？如果没有，它们之间的模糊区叫什么数呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/04 11:46am 第 3 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/09/04 10:05am 发表的内容：
下面我们再谈一个数学问题：
虽然实数和超实数不是排斥关系，但实数和无穷大量肯定是排斥关系吧？那么，按照形式逻辑思维，互为排斥的两个事物必定会有一个截然分明的分界。
现在请教陆老师：实数和无穷大量之间有没有一条明确的分界线呢？如果有的话，分界线在哪里呢？如果没有，它们之间的模糊区叫什么数呢？

其实，互为排斥的两个事物之间，并不一定能找到一个截然分明的分界线。
例如，“有理数”与“无理数”是两个互相排斥的事物，你能不能找出“有理数”与“无理数”之间一条截然分明的分界线？
你可能会说：“有理数”与“无理数”是互相穿插在一起的，是无法分开的，当然找不出分界线。
但是“无穷大量”与“非无穷大量”，是互相分开的，并不是互相穿插在一起的，为什么也找不到分界线呢？
下面我举一个互相分开、不是互相穿插的例子：
在超实数域中，紧靠在 0 点右边的是“正无穷小量”，在“正无穷小量”的右边，是“非无穷小正数”。
“正无穷小量”与“非无穷小正数”，一个在左、一个在右，互相分离，并不是互相穿插在一起的。
请问：你能不能找出“正无穷小量”与“非无穷小正数”之间一条截然分明的分界线？
如果你能找到这个分界点，那么，我只要将它取倒数，就是“正无穷大量”与“非无穷大正数”的分界点。
但是，很显然，我们是找不出“正无穷小量”与“非无穷小正数”之间的界线的。
仔细想想就会明白，这与我们找不出“有理数”与“无理数”之间的界线，其实是同一个道理。
既然找不出“正无穷小量”与“非无穷小正数”界线，当然也就找不出“无穷大量”与“非无穷大量”之间的界线了。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2009/09/04 11:12am 发表的内容：
其实，互为排斥的两个事物之间，并不一定能找到一个截然分明的分界线。
设想，在实数域中，有理数与无理数，是两个互相排斥的事物，你能不能找出有理数与无理数之间的一条截然分明的分界线呢？

在数轴上，有理数和无理数是混在一起的，当然这个分界线是找不到的。
但是，在大于0和小于0之间，就有等于0啊！这就是所谓的三岐性。
我们知道“无穷大量”是大于“实数”的，而且在数轴上“无穷大量”也是处于“实数”的右方，那么，就应该有一个数正好处于“无穷大量”和“实数”之间，以符合三岐性。
您说是不是这个道理？

jzkyllcjl

关于显微镜的表示法，对陆教授来讲是他的创造！陆教授在这个网站上为许多同志解决了不少问题，值得称赞！但是，对陆教授推行《非标准分析》的工作，我想说一点意见。第一，你的显微镜的解说，在美国70年代的] H. Jerome Keisler, （ ISBN 0-87150-213-5, Printed in the United States of America, 1976）中已经有了。他对超穷数域有一套公理性的介绍。 第二，我在第七章中批判了他的数轴概念。