本原勾股方程

Treenewbee

\[a=k^2-1;b=2 k+r;c=k^2+r k+1;a^2+r a b +b^2=c^2\]

Treenewbee

88-90#根据对称性a,b可以互换

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-5 21:29
这样的方程 \(a^3+ab+b^3=c^3\) 有解吗？

{{75,90,105},{162,273,291},{222,252,300},{288,384,432}}

蔡家雄

设：\(P_n\) =1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782,
195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, ... 是 佩尔数列，

求证：前 \(4k+1\) 个佩尔数的和是一个完全平方数。

1+2+5+12+29=
1+2+5+12+29+70+169+408+985=
1+2+5+12+29+70+169+408+985+2378+5741+13860+33461=

Treenewbee

\[P_n=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^n-\left(1-\sqrt{2}\right)^n}{2 \sqrt{2}}\]

Treenewbee

\[S_{4k+1}=\frac{1}{2\sqrt2}*(\sum_{i=1}^{4k+1}{(1+\sqrt2)^i}-\sum_{i=1}^{4k+1}{(1-\sqrt2)^i})\]
\[=\frac14((1+\sqrt2)^{4k+2}+(1-\sqrt2)^{4k+2}-2)\]
\[=(\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}-(1-\sqrt2)^{2n+1}}{2})^2\]

蔡家雄

设：\(f_n\) 是兔子数列，

设：\(P_n=1, 4, 17, 72, 305, 1292, ...\)

则：\(P_n+P_{n+1}=f_{3n+2}\)

则：\(P_n+P_{n+2}=f_{3n+2}+f_{3n+4}\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-9 19:52
求 \(a^3+2ab+b^3=c^3\) 的部分解，，

{{19, 54, 55}, {79, 119, 130}, {150, 180, 210}, {324, 546, 582}, {444, 504, 600}, {576, 768, 864}}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-3-10 06:09
求 \(a^3+3ab+b^3=c^3\) 的部分解，，，

{{14, 24, 26}, {80, 84, 104}, {195, 275, 305}, {200, 360, 380}, {225, 270, 315}, {242, 308, 352}, {335, 357, 437}, {486, 819, 873}}

蔡家雄

设 \(2n\) 与 \(1+2k\) 互质，

求：\(x^{2n}+y^{2n+2+4k}=z^{2n+1+2k}\)

当 \(2n=24\) 与 \(1+2*2\) 互质时，

求：\(x^{24}+y^{24+2+8}=z^{24+1+4}\)