细说哥猜中的“哈代_李特伍德公式”

熊一兵

[这个贴子最后由熊一兵在 2009/11/27 10:42am 第 3 次编辑]

下面引用由大傻8888888在 2009/11/26 08:28pm 发表的内容：
/=LN(n)*∏(1-1/Pk),PK∈素数，且PK≤√n.当n趋于无穷大时，应该趋近于1，不会是1点多点，更不会是2。

不知大傻8888888先生怎么给出这个结论？目前包括《概率素数论》在内的所有理论，只能给出它的极限是常数的结论，却不能给出它的值，下面我手工计算的数据，还不能反对你这个“应该趋近于1”的观点，但感觉应该比1大，如果用修改后更精确的素数定理来计算，更是如此

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/11/27 10:14am 第 1 次编辑]

陆教授给的极限也是1。
我总觉得此极限比1要大，因为∏（1-1/Pi)≥0.5,n<i<n^2,Pi是素数，1/LN(n)以0.5的速度衰减，即每扩大平方倍，此值变为原来的0.5；而∏（1-1/Pk)在以后的的值是大于0.5的（即有原来的小于√n,到小于n时，而且当到了一定范围后，新增的值是以减0.5后减半的速度递减，稍微小于一半的递减速度，这样每次的比值是大于1的，一个已经大于1的值，在乘一个大于1的值，是应该慢慢增加的）。
上面的意思说的不清楚：这里有另一个回帖。
谢谢陆教授的回复。我已收藏到我的文件夹中。
上面的式子有极限，则∏（1-1/Pi)≥0.5,N<i<N^2,Pi是素数，当n趋于无穷时，极限值是0.5.
如果这个推论正确，上面的极限值就不能是1.设n以n^(2^m),m为自然数，从1，2，3，...，m一直到无穷大，则1/LN(n)的值变为：[1/LN(n)]/2^m;而∏（1-1/Pk)的值会以大于0.5的速度增倍，即每扩大平方倍范围时，就会多一项乘积2*∏（1-1/Pi))≥1，只有当n趋于无穷大时，此值才为1，以前一直大于1，所以从某个n值开始，如果LN(n)*∏（1-1/Pk)>1,则以后的值会比此值大。从我计算出来的值看，此值不会小于1.1229（指LN(n)*∏（1-1/Pk)的极限值）。
<http://www.mathchina.com/cgi-bin/editpost.cgi?action=edit&forum=5&topic=8360&postno=82

熊一兵

下面引用由白新岭在 2009/11/27 09:46am 发表的内容：
陆教授给的极限也是1。
...

希望有编程能力的人编程计算较大范围的值，观其变化趋势，就能判断它的极限了

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/11/27 11:11am 第 1 次编辑]

按陆教授给的证明过程，及思路。可以这样证明此式“∏（1-1/Pk)≥0.5,n<k<n^2,Pk是素数。n是合数.”的极限为0.5.
证明如下：设∏（1-1/Pi),Pi<n,Pi是素数；设∏（1-1/Pj),Pj<n^2,Pj是素数；
则∏（1-1/Pk)=∏（1-1/Pj)/∏（1-1/Pi)=∑（1/n)（n从1到n)/∑（1/n)(n从1到n^2)≈[LN(n)+γ]/[2LN(n)+γ]=0.5。

白新岭

下面引用由熊一兵在 2009/11/26 04:50pm 发表的内容：
研究数学其实其乐无穷，有点象挖金矿。我们花了好多力气好多时间，思想火花的金子却不容易出现一次。
我简单地叙述一下我理解并想象白新岭（独木星空）等网友探索哥猜的可行思路：
将前K个素数积记为2M，以2M为　...

分段与同余的认识是对的。
核心问题是：不要把解决问题的方法建立在歌猜这个狭窄的问题上，要她具有普遍性。对于任何一个条件或者多个互质条件都能适用才行。
对于一个单条件而言，MOD(n,T),t为一个大于1的自然数，则所有的n相对于t的余数有且只有t个，如果把余数0去掉，还剩t-1个余数，在偶数歌猜中是要证明这t-1个余数的2元和所对应的余数的数量比例关系，奇数歌猜就要证明t-1个余数的3元和所对应的余数的数量比例关系了，这样依次类推，可以到任意元相加，t-1个余数几元相加就是t-1个余数的几维数的余数相加的余数分布。最关键的问题，加法后的值相对于t必须有分布次数，如果没有，就不能合成全部自然数。
举例说明，条件5吧，把自然数分为5类数（对应着5类余数），用1-4做2元加法，则新得到的数，落到余数1上的次数是3，2上的是3，3上的是3，4上的是3，而0上的是4.
如果余数做3元加法，会得到落到余数1上的次数是13，2上的是13，3上的是13，4上的是13，而0上的是12.
用2维，3维的坐标点的和就得到结果了。
   1   2   3   4
1   2   3   4   5
2   3    4   5  6
3   4    5   6   7
4   5    6   7   8
第一行，和第一列为5的余数，其余的主要部分是余数相加结果，把它对5求余数，就得到合成比例，即落到不同余数上的次数。
在上述问题搞清以后，可以对多条件，多元的进一步研究其合成规律，然后再判断素数集符合不符合此限制条件。
用素数代数式研究,2*Pi做除数（可以是一个，也可以是多个，不一定要连续）

白新岭

如果用全体自然数除2Pi,Pi是奇素数，则对于任何一个素数Pi来说，余数2，4，6，...，2Pi-6，2Pi-4，2Pi-2的机率相同，用这些余数相加会得到余数2，4，6，...，2Pi-6，2Pi-4，2Pi-2的合成次数相同，都为Pi-2次，而得到2Pi的合成次数是Pi-1次。
如果用2PiPj任意两个奇素数的积的2倍作为除数，则落到此2素数的不能整除的代数式的几率相同，即2PiPj*n-1,2PiPj*n-3,....,2PiPj*n-2PiPj+1上的几率相同，里边的减数为奇数，且不能整除Pi,或Pj。
当然可以把前k个素数的连乘积做除数，这时的余数都落到前k个素数不能整除的素数代数式上（除前k个素数落到能整除自己的代数位置上，只有一次，不参与类别合成运算）

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/11/28 00:01pm 第 1 次编辑]

这里有104053950内的素数合成偶数的分布（以偶数n对30的余数作为分类标准）。
MOD(n ,30)→104053950内实际合成→实占份数→→→→应占份数→实份数/应份数→→单份相对误差
2→→→→→1676455674654→→→2.99888406523964→3→→→→→0.999628021746547→-0.000371978
4→→→→→1677550202095→→→3.00084198214219→3→→→→→1.00028066071406→0.000280661
6→→→→→3354614356609→→→6.00081451072969→6→→→→→1.00013575178828→0.000135752
8→→→→→1676454047766→→→2.99888115502342→3→→→→→0.999627051674473→-0.000372948
10→→→→→2236626439701→→→4.00093094694992→4→→→→→1.00023273673748→0.000232737
12→→→→→3353889041296→→→5.99951704932506→6→→→→→0.999919508220844→-8.04918E-05
14→→→→→1676766563948→→→2.99944019145516→3→→→→→0.99981339715172→-0.000186603
16→→→→→1677536751678→→→3.0008179217141→3→→→→→1.00027264057137→0.000272641
18→→→→→3353815757784→→→5.99938595802351→6→→→→→0.999897659670586→-0.00010234
20→→→→→2235585736470→→→3.99906931208341→4→→→→→0.999767328020854→-0.000232672
22→→→→→1677436542042→→→3.000638664317→3→→→→→1.00021288810567→0.000212888
24→→→→→3354313703344→→→6.00027669496802→6→→→→→1.000046115828→4.61158E-05
26→→→→→1677080619180→→→3.0000019809764→3→→→→→1.00000066032547→6.60325E-07
28→→→→→1677361772273→→→3.00050491436333→3→→→→→1.00016830478778→0.000168305
0→→→→→4472209042076→→→7.99999465268913→8→→→→→0.999999331586142→-6.68414E-07
从这些数据上看，当范围很大时，理论计算值与实际值是相吻合的，而且极限值一定是理论计算值。素数式的合成方法从以上数据可以得到印证。下面是104053950内的素数除30的余数分布情况：
MOD(  ,30)→余数分布
1→→→→→747332
7→→→→→747750
11→→→→→747724
13→→→→→747750
17→→→→→747791
19→→→→→747542
23→→→→→747840
29→→→→→747715
2→→→→→1
3→→→→→1
5→→→→→1

熊一兵

在哥猜中的“哈代_李特伍德公式”中，
重生888 、大傻8888888 、白新岭等网友，有较好的分析思路和方法，获得的理论结果得到实际数据支持，发了大量帖子进行叙述，个人认为你们离这个问题的解决近在咫尺，但常感到要完全理解你们发帖的内容比较难，所以如何降低阅读难度，进行深入浅出的叙述，不仅关系到数学思想的传播，而且事关数学成果的认可。
研究讲究方法，
表达讲究方法，
沟通讲究方法
研究方法，如同磨刀有实际意义

重生888

熊先生好!因以前您不常看我的帖子,我在东陆有专区,来数学中国也有两年,若从头说,难度太大!大体说来:WDY筛子(中国网眼筛子,一次性筛去2.3.5的倍数)得到8类WDY数:
7. 37. 67......
11 41......
13 43.....
17. 47.....
19. 49 79.....
23. 53.....
29.59....
31. 61.......
这是哥猜的有效组合元素;
再就是将偶数分为15类,利用WDY数进行36种有效组合;最后利用素数定理来锁定具体偶数的素数对个数!总的来说,30整倍数的偶数的素数对最多,因它为具体偶数以内全部素数参与陪对组合!
若您有兴趣,我可将有关整理的材料寄给你!谢谢1

白新岭

[这个贴子最后由白新岭在 2009/12/07 05:08pm 第 1 次编辑]

下面引用由熊一兵在 2009/12/06 06:17am 发表的内容：
在哥猜中的“哈代_李特伍德公式”中，
重生888 、大傻8888888 、白新岭等网友，有较好的分析思路和方法，获得的理论结果得到实际数据支持，发了大量帖子进行叙述，个人认为你们离这个问题的解决近在咫尺，但常感 ...

熊一兵先生你好，我的文字功底很差，表达能力也非常差，不能用更通俗，更贴切的数学语言来表达我的思路，分析问题的方法，这样会导致大家不能更好的沟通和传递数学知识。
如果从最浅显的知识，具体的知识入手，就应该从不定方程的解入手，从单条件到多条件，循序渐进，不能一步就进入歌猜，下面是从简单到复杂，从单条件到多条件的，具体问题的处理，分析过程，也许大家会进入状态，不在漫无目的的来回转悠：
问题1：方程x+y=n,在单条件2，3，5，7，8，9时的解组数。（条件是x,y不能整除给的值）
在这个问题前，先求一下不定方程x+y=n的正整数解的组数。
x+y=n的正整数解的组数，我们把n个物体排成一列，则这n个物体间有n-1个空隙，我们把一块木板放在某一个空隙位置上，则n个物体分成了有序的2堆数（2组数，2部分），用x对准前一部分，用y对准后一部分，则此种分组法的数目即是不定方程的正整解的组数，根据计数原理，有C(n-1,2-1),即n-1组正整数解。
扯的远些，对于任意m元不定线性方程正整解的组数而言有：C(n-1,m-1)组正整数解。即从n-1个物体抽取m-1个物体的组合数。
有了不定方程的正整数解的组数，很容易得到非负整数解的组数，在方程x+y=n中，如果x,y可以取0，则设X=x+1,Y=y+1,同时把方程两边各加上2，由x+y=n推出X+Y=n+2,求此方程的正整数解的组数，就是原方程x+y=n的非负整数解的组数，根据上面的推导，此方程的正整数解的组数为：C(n+2-1,2-1)=n+1,这也就是x+y=n的非负整数解的组数。下面要用此结论。
对于x,y不能整除2，则余数只有1，1+1=2，即用不能整除2的2元进行加法合成，只能得到能整除2的数，也就是偶数，不能得到奇数，所以n为奇数时方程无解，如果n为偶数，则方程有n/2个周期，在第一个周期的合成方法为1，实际周期=INT((n-1)/2),所以当n为偶数时，方程的正整数解的组数为：1*[INT((n-1)/2)+1]=n/2.例如n=200时，方程有200/2=100组正整数解（x,y不能整除2）。
当x,y不能整除3时，不能整除3的余数只有1，2；对元素1，2进行2元加法合成：
   1  2
1  2  3
2  3  4
这样看来，在第一周期余数为2的有1种合成方法，余数为3的（即能整除3的）有2种合成办法，在第二周期余数为1的有1种合成方法。
这样我们把n分成3类，一类为：3t+1,另外2类分别为3t+2,3t+3,t的取值为非负整数，t=INT((n-1)/3).
(1)对于n=3t+1,因为余1的只出现在第二周期，所以为1*(t+1-1)=t;
(2)对于n=3t+2,因为余2的只出现在第一周期，所以为1*(t+1)=t+1;
（3）对于n=3t+3,因为余3的只出现在第一周期，所以为2*(t+1)=2t+2;
例如当n分别等于298，299，300时，周期t=INT((n-1)/3)=99,所以其解的组数分别为：99，99+1=100，2*99+2=200.
当x,y不能整除8时，不能整除8的余数有1，2，3，4，5，6，7；对这7个元素进行2元加法合成：
   1  2  3  4  5  6  7
1  2  3  4  5  6  7  8
2  3  4  5  6  7  8  9
3  4  5  6  7  8  9  10
4  5  6  7  8  9  10  11
5  6  7  8  9  10  11  12
6  7  8  9  10  11  12  13
7  8  9  10  11  12  13  14
统计出现的次数为：
值  次数
2    1
3    2
4    3
5    4
6    5
7    6
8    7
9    6
10   5
11   4
12   3
13   2
14   1
把n表示成8类，并求出正整数解的组数：
当n=8t+1时，其解为：0*(t+1)+6*(t+1-1)=6t+0;[这里t=INT((n-1)/8)]
当n=8t+2时，其解为：1*(t+1)+5*(t+1-1)=6t+1;
当n=8t+3时，其解为：2*(t+1)+4*(t+1-1)=6t+2;
当n=8t+4时，其解为：3*(t+1)+3*(t+1-1)=6t+3;
当n=8t+5时，其解为：4*(t+1)+2*(t+1-1)=6t+4;
当n=8t+6时，其解为：5*(t+1)+1*(t+1-1)=6t+5;
当n=8t+7时，其解为：6*(t+1)+0*(t+1-1)=6t+6;
当n=8t+8时，其解为：7*(t+1)+0*(t+1-1)=7t+7;
时间不早了，未完待续