数学理论分析完全确定80°尺规作图

太阳

yangchuanju 发表于 2022-5-17 10:31
不可能用尺规作图法得到80度角
给定角ABK=80度，角BKG=60度，反求角GFH=37.87798677度，角BHK=37.8779 ...

纯几何方法证明∠GFH＝∠BHK，找到唯一解，80°尺规作图

yangchuanju

几何-三角法联合求解角BHK
连接AK，并令AC=1，在三角形ABK中，AB=AK=1，角BAK=20°，BK=2*sin10°；
在三角形HBK中，HB=0.5，BK=2*sin10°，角HBK=80°，
HK=[0.5^2+(2*sin10°)^2-2*0.5*2*sin10°*cos80°]^0.5=[0.25+(2*sin10°)^2-2*sin10°*cos80°]^0.5
或HK=[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5
cosBHK=[HB^2+HK^2-BK^2]/[2*HB*HK]=[0.5^2+0.25+2*(sin10°)^2-(2*sin10°)^2]/[2*0.5*(0.25+2*(sin10°)^2)^0.5]
=[0.5-2*(sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=0.789320033
∠BHK=arccos[0.5-2*(sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=37.87798714°

太阳

∠BHK=arcsin [sin20°/(0.25+2*sin10°^2)^0.5]，这个角的度数可以算出来。
∠GFH如何计算？

yangchuanju

太阳 发表于 2022-5-18 07:32
∠BHK=arcsin [sin20°/(0.25+2*sin10°^2)^0.5]，这个角的度数可以算出来。
∠GFH如何计算？

cosBHK=[0.5-2*(sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5
sinBHK={1-[0.5-2*(sin10°)^2]^2/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5
={[0.25+2*(sin10°)^2-0.5^2+2*0.5*2*(sin10°)^2-4*(sin10°)^4]/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5
=[[4*(sin10°)^2-4*(sin10°)^4]/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5={4*sin(10°)^2*[1-sin10°)^2]/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5
={4*sin(10°)^2*cos(10°)^2/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5={[2*sin(10°)*cos(10°)]^2/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5
sinBHK={sin(20°)^2/[0.25+2*(sin10°)^2]}^0.5=sin(20°)/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=0.623981991
∠BHK=arcsin{sin(20°)/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5}=37.87798714
终于变的与太阳先生的“纯几何方法”所得表达式一致了！

yangchuanju

用正弦定理解三角形HBK
BK=2*sin10°，HK=[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5，∠HBK=80°；
正弦定理：sinBHK/BK=sinHBK/HK，
sinBHK=sinHBK*BK/HK=sin80°*2*sin10°/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=2*cos10°*sin10°/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5=sin20°/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5，
sinBHK=sin20°/[0.25+2*(sin10°)^2]^0.5，
正弦定理在这里比余弦定理简单了一些！

yangchuanju

太阳 发表于 2022-5-18 07:32
∠BHK=arcsin [sin20°/(0.25+2*sin10°^2)^0.5]，这个角的度数可以算出来。
∠GFH如何计算？

假定角ABK等于80度，连接AK，等腰三角形ABK的腰AB和AK都等于大圆半径，令其长等于1；底边BK所对应大圆弧为20度；BK长=1*cos80°*2=2*sin10°=0.347296355。
由于BKG=60度，延长KG必然通过点M；作大圆的垂直半径AQ交TP于W，交GM于S；作GZ垂直于MC，交MC于Z；
在直角三角形MAS和MZG中，MA=1，GZ=(√3)/4=0.4330127；令AZ=x，AS=y，则tanGMA=GZ/MZ=AS/MA=0.4330127/(1+x）=y/1，tanGMA=(√3)/4/(1+x)=y；
又角KMC=角GMA是大圆的一个圆周角，对应弧长等于40度（求证从略），故角GAM=20度；
tan20°=y=0.363970234；x=GZ/tan20°-MA=(√3)/4/tan20°-1=0.4330127/0.363970234-1=0.189692621，即WG=(√3)/4/tan20°-1=0.189693621；
小圆半径GE=WE-WG=AD-WG=0.5-(√3)/4/tan20°+1=1.5-(√3)/4/tan20°=0.310307379
三角形GFH上边GH=GE-HE=1.5-(√3)/4/tan20°-0.25=1.25-(√3)/4/tan20°=0.060307379

yangchuanju

（接上楼）
求点F坐标及角GFH
AB方程：y/x=0.866/0.5，y=√3*x=1.732x
小圆方程：(x-0.5)^2+[y-(√3/4)]^2=[1.5-(√3)/4/tan20°]^2=0.3103^2
(x-0.5)^2+[√3*x-√3/4]^2=[1.5-(√3)/4/tan20°]^2=0.09629067
x^2-x+0.25+3x^2-1.5x+3/16=4x^2-2.5x+7/16=[1.5-(√3)/4/tan20°]^2
4x^2-2.5x+7/16-[1.5-(√3)/4/tan20°]^2=4x^2-2.5x+[7/16-2.25+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]=4x^2-2.5x+[-1.8125+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]=0
解一元二次方程
4x^2-2.5x+[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]=0
4x^2-2.5x+0.34120933=0
只取减号
x=(2.5-(6.25-4*4*0.34120933)^0.5)/8=0.201351822
y=√3*x=0.348751586
即Fx=0.201351822，Fy=0.348751586。
求GF和FH长（关系式复杂，仅带入数值）：
由以上计算知，Gx=0.189692621，Gy=0.433012702；Hx=0.250000000，Hy=0.433012702；
GF=[(Gx-Fx)^2+(Gy-Fy)^2]^0.5，带入数值得GF=0.085063933；
FH=[(Hx-Fx)^2+(Hy-Fy)^2]^0.5，带入数值得FH=0.097296356；
又GH=0.060307379，角GHF=60度，应有余弦定理可求得cosGFH=0.789320037，角GFH=37.877986767度。

由于后半部的三角函数式结构复杂，无法表示成函数式表达式，更无法转换成像角BHK那样的较为简单的函数式；
让我们相信，一个极其复杂的三角函数式不可能转换成一个较为简单的三角函数式，尽管两函数式数值接近，但不会是绝对相等的。

yangchuanju

太阳 发表于 2022-5-14 09:39

太阳先生的小圆半径表达式又错了！

对太阳先生在72楼给出的的小圆半径表达式变换一下：
EG=cos20°/2-[√3/4*cos20°-sin20°]/tan20°
通分EG=[cos20°*tan20°-2*√3/4*cos20°+2*sin20°]/[2*tan20°]
=[sin20°-√3/2*cos20°+2*sin20°]/[2*tan20°]=[3*sin20°-√3/2*cos20°]/[2*tan20°]=[3/2*sin20°-√3/4*cos20°]/tan20°
EG=[3/2*sin20°-√3/4*cos20°]/tan20°=1.5*cos20°-√3/4*cos20°/tan20°
经计算，太阳的小圆半径表达式和变换后的表达式的计算结果都是：0.291593554422895

又太阳的小圆半径表达式EG=1.5*cos20°-√3/4*cos20°/tan20°=(1.5-√3/4/tan20°)*cos20°，
与杨的小圆半径GE=1.5-(√3)/4/tan20°=0.310307379相比多乘了一个cos20°，
将太阳表达式的计算值除以cos20°=0.939692620785909后的商与杨的计算结果完全相同了，都等于0.31030737921409了。

yangchuanju

按太阳先生思路求GF、角GFH：
角GFU是小圆下半圆上的一个圆周角，是一个直角，90度；三角形GFU是一个直角三角形，斜边GU等于半径的2倍，GU=3-(√3)/2/tan20°；
要解这个直角三角形还差一个条件（一个角或一个边）。下面先求边GF：
联解由直线AB方程和小圆方程组成的二元二次方程组，即得交点F的坐标Fx和Fy；
消去未知数y后得关于x的一个一元二次方程：4x^2-2.5x+[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]=0
x=2.5/(2*4)-{2.5^2-4*4*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]}^0.5/(2*4)
Fx=5/16-【25/4-16*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]】^0.5/8=0.201351822
Fy=√3x=5/16*√3-【25/4-16*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]】^0.5*√3/8=0.348751586
又由计算知小圆半径等于1.5-(√3)/4/tan20°，可得
Gx=0.5-(1.5-(√3)/4/tan20°)=(√3)/4/tan20°-1，Gy=(√3)/4；Ux=0.5+(1.5-(√3)/4/tan20°)=2-(√3)/4/tan20°，Uy=(√3)/4。
GF=[(Gx-Fx)^2+(Gy-Fy)^2]^0.5=…
sinGUF=GF/GU=…，∠GUF=arcsinGUF=…度；
∠FGU=90°-∠GUF；
∠GFH=120°-∠FGU=…=37.87…度

或在求得GF后，再求FU，利用余弦定理求∠FGU和∠GFH:
FU=[(Ux-Fx)^2+(Uy-Fy)^2]^0.5=…
cosFGU=(GU^2+GF^2-FU^2)/(2*GU*GF)=…
∠FGU=arccosFGU=…
∠GFH=120°-∠FGU=…=37.87…度

亦或在求得GF后，再求FH和GH，直接解三角形GFH，求取角GFH：
FH=[(Fx-Hx)^2+(Fy-Hy)^2]^0.5=…
GH=Hx-Gx=0.25-(√3)/4/tan20°+1=1.25-(√3)/4/tan20°
cosGFH=(FH^2+GF^2-GH^2)/(2*FH*GF)=…
∠GFH=arccosGFH=…=37.87…度

太阳

yangchuanju 发表于 2022-5-18 12:16
（接上楼）
求点F坐标及角GFH
AB方程：y/x=0.866/0.5，y=√3*x=1.732x

小圆半径表达式是正确