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发表于 2024-8-3 10:33
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本版块大半年来, 有相当多(不包括春先生即蠢疯顽瞎天文数量的重贴)有关朴素集合论的粗浅讨论和介绍. 希望这些讨论介绍可以端正网友们对全部数学的基础集合论的认识。朴素集合论的内容可以说是尘埃落定，什么掌门，X氏学说等等都是都是八股党人的帽子，并不代表任何标新立异. 讨论表现为不回应不可理喻的蠢疯，直接论证自己的演算。旨在极大化帖子的科普效用。即回应假想的讨论对象的各种挑战。因为不管你咋样忙活，蠢疯不是任何人帮得了的。
有趣的是这种讨论其实梳理了本人对朴素集论的认知，很多本来认为不起眼的东西现在显得有意思了。这就是本贴的分享动机.
【概括原则】设\(S\)是集合, \(P(x)\) 是以\(x(\in S)\) 为变元的命题，则\(S\)中
\(\qquad\)使\(P(v)\)的逻辑值为真的全体\(v\)成一集合. 记作 \(\{v\in S: P(v)\}\)
\(\qquad\)在略去\(S\)不至引起混淆时简记该集合为 \(\{v\mid P(v)\}\)
【定义】设\(\mathscr{A}=\{A_\alpha\mid \alpha\in\Lambda\}\) 为一集族，依次称
\(\qquad\displaystyle\bigcap_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\{x\mid \forall \alpha\in\Lambda\;(x\in A_\alpha)\},\;\bigcup_{\alpha\in\Lambda}A_\alpha=\{x\mid \exists\alpha\in\Lambda\;(x\in A_\alpha)\}\)
\(\qquad\)为\(\mathscr{A}\)的交集和并集．
【例】令\(A_n:=\{m\in\mathbb{N}: m>n\}\,(A_n^c=\{m\in\mathbb{N}: m\le n\})\)
\(\quad N_{\infty}:=\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n\)
0）\(N_{\infty}=\{m\mid \forall n\in\mathbb{N}\,(m\in A_n)\}\subseteq\{m\in\mathbb{N}:\;m\in A_m\}=\varnothing\)
1）对任意\(m\in\mathbb{N}\), 只要\(n\ge m\) 就有 \(m\not\in A_n\) 所以
\(\quad\forall m\in\mathbb{N}\,(m\not\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^\infty A_n=N_{\infty})\)
\(\quad\)故\(N_{\infty}\)不含任何自然数，即\(N_{\infty}=\varnothing\quad\square\)
2）据定义 \(A_m=\mathbb{N}-A_m^c\) 将\(\le m\)的自然数从\(\mathbb{N}\)排除.
所以\(N_{\infty}=\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n=\bigcap_{k=1}^\infty A_k\) 排除一切\(n\in\mathbb{N}\)
\(\therefore\;\;N_{\infty}=\varnothing.\)
3）从 \(1\sim 2\)) 知道 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\subset A_m\,(\forall m\in\mathbb{N})\)
\(\quad\)推不出\(N_{\infty}\ne\varnothing.\) 这连个门外汉都知道.
4) \(\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}B_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}C_n,\,\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}B_n\subseteq\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}C_n\,(B_n\subseteq C_n).\)
\(\quad\)参见周民强【实变函数论】我们有
\(\quad\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}B_n=\{m\mid \forall n\,\exists k\ge n\,(m\in B_k)\}\)
\(\qquad\subseteq\{m\mid \forall n\,\exists k\ge n\,(m\in C_k)\}=\underset{n\to\infty}{\overline{\lim}}C_n\)
\(\quad\)仿此证下极限集的包含关系.
\(\quad\)进而对收敛集列,\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n\subseteq\lim_{n\to\infty}C_n\,(B_n\subseteq C_n).\)
5）据 4)立得 \(\varnothing\subseteq\displaystyle N_{\infty}\subseteq\lim_{n\to\infty}[n,\infty)=\varnothing\)
6）\(\because\;\{m\}\subseteq A_m^c,\;\;\therefore\;\mathbb{N}=\displaystyle\bigcup_{m\in\mathbb{N}}\{m\}\subseteq\bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_m^c\subseteq\mathbb{N}\)
\(\therefore\;\;\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n^c=\mathbb{N},\) 进而\(\;N_{\infty}=\varnothing\,(德摩根).\)
7) 令 \(E:=\underset{n\to\infty}{\underline{\lim}}A_n=\{m\mid 存在\,j,\,对\,k\ge j\,有\,m\in A_k\}\),
\(\quad\)对任意 \(m,\,j\in\mathbb{N}\)有 \(k=j+m>j\) 且 \(m\not\in A_k\)
\(\quad\)故\(E=\varnothing\). 因为单降序列\(\{A_n\}\)收敛，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n = E = \varnothing\)
【注记】集合不是数域中的数, 集合的无穷交, 无穷并以及极限集
的算法不能过分依赖初等微积分的直觉。
\(\qquad\quad\)主贴有几处使用了较数理逻辑中的【命题逻辑】更精细的一阶逻辑中的
\(\qquad\quad\)全称量词：\(\forall m\)读作对每个\(m,\;\forall m\in E\)读作对\(E\)中的每个\(m\).
\(\qquad\quad\)存在量词：\(\exists m\)读作存在\(m;\;\;\exists! m\in E\)读作在E中存在唯一的\(m\).
\(\qquad\quad\)一阶逻辑的命题的一般形式是(量词+谓词).
\(\qquad\quad\)例如 \(\forall m\in\mathbb{N}\,\forall n\ge m(x\not\in A_n)\)
\(\qquad\quad\)设\(f: [0,1]\to\mathbb{R}\)连续严格单调\(f(0)f(1)< 0\)
\(\qquad\quad\)则\(\exists ! \xi\in(0,1)\,(f(\xi)=1)\)
一阶逻辑的系统使用为数学推理提供了极大的方便，极大地代数化了逻辑演算。
但这方面的东西需要较多的预备知识。暂且不作深入介绍. |
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发表于 2024-8-2 04:21
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