梅森素数特别判定法

太阳 · 发表于 2024-9-13 08:04

本帖最后由太阳于 2024-9-13 08:07 编辑

已知:\(\frac{a^2}{5m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，整数\(a＞0\)，\(c＞0\)
奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}+mt^2=m^3\)，\(m\ne3c\)，\(y\ne3u\)，\(m＞y\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞0\)，\(y＞0\)，素数\(p＞0\)，\(t＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)
已知:\(\frac{a^2}{7m}-7t^2=343\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(7m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{11m}-11t^2=1331\)，\(m\ne3c\)，\(m\ne5k\)，\(11m＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(m＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(m=p\)
已知:\(\frac{a^2}{my}-mt^2=m^3\)，\(y\ne3c\)，\(y\ne5k\)，\(y＞m\)，\(my＞t\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，奇数\(y＞0\)，素数\(m＞5\)，\(p＞0\)
求证:\(y=p\)
已知:\(\frac{a^2}{c}-mt^2=m^3\)，\(c=my\)，\(c\ne3k\)，\(c\ne5u\)，\(y＞m\)
整数\(a＞0\)，\(c＞0\)，\(k＞0\)，\(t＞0\)，\(u＞0\)，奇数\(m＞1\)，\(y＞1\)，素数\(p＞0\)，\(v＞0\)
求证:\(m=p\)，\(y=v\)

太阳 · 发表于 2024-9-13 13:10

命题是错误的，找到反例，a^2/7/253+253*t^2=253^3，t=197

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 17:21

2^41-1= 2199023255551<13> = 13367 · 164511353
它有两个素因子13367和164511353的LL检验法余数列循环节长分别为1620和6096，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——822960或它的某个约数。

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 17:21

2^43-1= 8796093022207<13> = 431 · 9719 · 2099863
它有三个素因子431,8719和2099863的LL检验法余数列循环节长分别为28,28和60，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——420或它的某个约数。

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 17:21

2^45-1= 35184372088831<14> = 7 · 31 · 73 · 151 · 631 · 23311
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和31，其余素因子73,151,631和23311的LL检验法余数列循环节长分别为3,9,39和115，
大梅森数的余数列循环节长可能为3,9,39和115的最小公倍数——13455或它的某个约数。

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 17:23

2^47-1= 140737488355327<15> = 2351 · 4513 · 13264529
它有三个素因子2351,4513和13264519的LL检验法余数列循环节长分别为460,46和165806，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——38135380或它的某个约数。

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 17:23

2^51-1= 2251799813685247<16> = 7 · 103 · 2143 · 11119 · 131071
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和131071，其余素因子103,2143和11119的LL检验法余数列循环节长分别为6,33和276，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——3036或它的某个约数。

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 20:09

几个2^p-1型合数套用LL检验法检验余数列中循环节长及循环开始点——
指数 11 23 29 37 9 15 21 25 27 33 35 39
循环节 60 32340 252 516924 3 9 3 60 9 6420 6828 1164
开始点 2 2 2 6 4 6 8 6 9 4 8 14

yangchuanju · 发表于 2024-9-14 20:13

众所周知，LL检验法常用于梅森数2^p-1的素性检验，令r1=4，r2=mod((r1^2-2),(2^p-1))，r3=mod((r2^2-2),(2^p-1))，……，当第p-1个余数等于0时这个梅森数就是素数；否则当第p-1个余数不等于0时这个梅森数就是合数；
然而并不是只有梅森素数的LL检验余数列中有余数0出现，普通素数97,607,12289,22783等套用LL检验时也都有余数0存在——
（下表中的7,31,12,8191都是梅森素数）
素数号素数 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 r12
4 7 4 0
11 31 4 14 8 0
31 127 4 14 67 42 111 0
1028 8191 4 14 194 4870 3953 5970 1857 36 1294 3470 128 0
25 97 4 14 0
111 607 4 14 194 0
2546 22783 4 14 194 14851 12759 7544 0
1470 12289 4 14 194 767 10704 5267 5014 9189 0

在第10001-100000个素数中又4个有余数0的素数，其中2个梅森素数，2个普通素数——
265471 4 14 194 37634 30169 133971 0
592897 4 14 194 37634 479918 367823 0
131071 4 14 194 37634 95799 119121 66179 53645 122218 126220 70490 69559 99585 78221 130559 0
524287 4 14 194 37634 218767 510066 386344 323156 218526 504140 103469 417706 307417 382989 275842 85226 523263 0

yangchuanju · 发表于 2024-9-15 07:34

2^51-1= 2251799813685247<16>=7×103×2143×11119×131071
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子7和131071，其余素因子103,2143和11119的LL检验法余数列循环节长分别为6,33和276，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——3036或它的某个约数。

2^53-1= 9007199254740991<16>=6361×69431×20394401
它有三个素因子6361,69431和20394401的LL检验法余数列循环节长分别为52,260和20148，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——1309620或它的某个约数。

2^55-1= 36028797018963967<17>=23×31×89×881×3191×201961
它有素因子较多，但都不是很大，不计梅森素数因子31，其余素因子23,89,881,3139和201961的LL检验法余数列循环节长分别为5,12,42,140和40，
大梅森数的余数列循环节长可能为6,33和276的最小公倍数——420或它的某个约数。

2^57-1= 144115188075855871<18>=7×32377×524287×1212847
不计它的二个梅森素数因子，其余的两个素因子32377和1212847的LL检验法余数列循环节长分别为630和1176，
大梅森数的余数列循环节长可能为（最小公倍数）——17640或它的某个约数。

2^49-1、2^59-1的部分素因子太大，在16位数字系统中无法直接计算2出精确数字；
2^41-1以上的2^p-1型数字本身太大，在16位数字系统中都不能直接计算，它们的循环节都不能直接计算。

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