$\Huge\color{blue}{\textbf{没有无穷大自然数}}$

春风晚霞

       elim，放你娘的臭狗屁！老子何时【故意回避哪个有限数的后继为最小超穷数的问题．白痴连 x+1 是超穷数, x 亦然也不知道.】你他娘的根据现行的数学理论证明了【x+1 是超穷数, x 亦然】了吗？你他娘的想靠频发（发了删、删了又发）宿帖耍赖，真不要脸！
       其实，狗屁不通地驴打滚的孬种是你elim!根据谢邦杰《超穷数与超穷论法》p4页第一行所说的“无限集合的基数叫超穷基数”。因为$\mathbb{N}$是无限集，所以$\mathbb{N}$必含超穷数。老夫从未回避【哪个有限数的后继为最小超穷数的问题】！事实上，你狂吠多少次自然数集不含超穷数（或超穷数在自然数集之外），我就证明了多少次在自然数集中“那个预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。“比你能写出、读出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷自然数。”这可是小学四年级对学生渗透无穷自然数的描述性定义。所以这个“预先给定的、无论怎样大的自然数”就是自然数集$\mathbb{N}$中有限与无限的分界点。即自然数集$\mathbb{N}=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$$\cup\{n:n>x\quad n\in\mathbb{N}\}$。
       现行数学中称集合$\mathbb{N}_e=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$为自然数列的一个截段（参见方嘉琳《集合论》P82页第3—5行）。集合$\mathbb{N}_e$中的数均为有限数。而集合$\mathbb{N}_{\infty}=\{n:n> x\quad n\in\mathbb{N}\}$是无限集，$\mathbb{N}_{\infty}$中的任何一个自然数都是无穷自然数！所以我们有理由说第一个大于“预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。
       elim务必先证明【x+1 是超穷数, x 亦然】，再判断谁是白痴！若你不能证明【x+1 是超穷数, x 亦然】这个命题，就像泼妇一样骂这骂那，那就是放你娘的臭狗屁！

春风晚霞

       elim，放你娘的臭狗屁！老子何时【故意回避哪个有限数的后继为最小超穷数的问题．白痴连 x+1 是超穷数, x 亦然也不知道.】你他娘的根据现行的数学理论证明了【x+1 是超穷数, x 亦然】了吗？你他娘的想靠频发（发了删、删了又发）宿帖耍赖，真不要脸！
       其实，狗屁不通地驴打滚的孬种是你elim!根据谢邦杰《超穷数与超穷论法》p4页第一行所说的“无限集合的基数叫超穷基数”。因为$\mathbb{N}$是无限集，所以$\mathbb{N}$必含超穷数。老夫从未回避【哪个有限数的后继为最小超穷数的问题】！事实上，你狂吠多少次自然数集不含超穷数（或超穷数在自然数集之外），我就证明了多少次在自然数集中“那个预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。“比你能写出、读出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷自然数。”这可是小学四年级对学生渗透无穷自然数的描述性定义。所以这个“预先给定的、无论怎样大的自然数”就是自然数集$\mathbb{N}$中有限与无限的分界点。即自然数集$\mathbb{N}=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$$\cup\{n:n>x\quad n\in\mathbb{N}\}$。
       现行数学中称集合$\mathbb{N}_e=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$为自然数列的一个截段（参见方嘉琳《集合论》P82页第3—5行）。集合$\mathbb{N}_e$中的数均为有限数。而集合$\mathbb{N}_{\infty}=\{n:n> x\quad n\in\mathbb{N}\}$是无限集，$\mathbb{N}_{\infty}$中的任何一个自然数都是无穷自然数！所以我们有理由说第一个大于“预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。
       elim务必先证明【x+1 是超穷数, x 亦然】，再判断谁是白痴！若你不能证明【x+1 是超穷数, x 亦然】这个命题，就像泼妇一样骂这骂那，那就是放你娘的臭狗屁！

春风晚霞

       elim，放你娘的臭狗屁！老子何时【故意回避哪个有限数的后继为最小超穷数的问题．白痴连 x+1 是超穷数, x 亦然也不知道.】你他娘的根据现行的数学理论证明了【x+1 是超穷数, x 亦然】了吗？你他娘的想靠频发（发了删、删了又发）宿帖耍赖，真不要脸！
       其实，狗屁不通地驴打滚的孬种是你elim!根据谢邦杰《超穷数与超穷论法》p4页第一行所说的“无限集合的基数叫超穷基数”。因为$\mathbb{N}$是无限集，所以$\mathbb{N}$必含超穷数。老夫从未回避【哪个有限数的后继为最小超穷数的问题】！事实上，你狂吠多少次自然数集不含超穷数（或超穷数在自然数集之外），我就证明了多少次在自然数集中“那个预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。“比你能写出、读出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷自然数。”这可是小学四年级对学生渗透无穷自然数的描述性定义。所以这个“预先给定的、无论怎样大的自然数”就是自然数集$\mathbb{N}$中有限与无限的分界点。即自然数集$\mathbb{N}=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$$\cup\{n:n>x\quad n\in\mathbb{N}\}$。
       现行数学中称集合$\mathbb{N}_e=\{n:n\le x\quad n\in\mathbb{N}\}$为自然数列的一个截段（参见方嘉琳《集合论》P82页第3—5行）。集合$\mathbb{N}_e$中的数均为有限数。而集合$\mathbb{N}_{\infty}=\{n:n> x\quad n\in\mathbb{N}\}$是无限集，$\mathbb{N}_{\infty}$中的任何一个自然数都是无穷自然数！所以我们有理由说第一个大于“预先给定的、无论怎样大的自然数$x$的后继$x+1$就是最小超穷数”。
       elim务必先证明【x+1 是超穷数, x 亦然】，再判断谁是白痴！若你不能证明【x+1 是超穷数, x 亦然】这个命题，就像泼妇一样骂这骂那，那就是放你娘的臭狗屁！

春风晚霞

$\huge\color{red}{春风晚霞并非搅局}$

       elim先生发表在《再论自然数皆非超穷数》下的主帖的论证是循环论证。
       elim先生认为【根据wiki 词条【有限集】一个集合被称为有限集合, 简单来说就是其元素个数有限, 严格说是$\color{navy}{存在某自然数 n}$使$\{0,1,…,n\}$与该集对等(之间存在双射).即一集合被称为有限, 如果其基数是自然数.】

       〖评注:因为在自然数理论中，自然数集$\{0，1，2，…，n-1\}$称作自然数列的一个截段，自然数列的任何一个截段所得自然数集均为有限集。然而这些截段所成集合均为自然数集$\mathbb{N}$的真子集。理由很筒单，根据皮亚诺公理第二条，这个$\color{navy}{存在某自然数n}$必存在其后继n+1，且n+1也是自然数。持读应用皮亚诺公理第二条，$n+j$(j为有限自然数）也是自然数。并且$n+j\in\mathbb{N}$，所以$\{0，1，2，…，n\}$$\subset\mathbb{N}$〗

       elim先生认为【$\color{blur}{由此知\aleph_0不是自然数}$. 因$\mathbb{N}$不是有限集 (它与其真子集对等). 同理由第一个超穷序数ω=N非有限知ω不是自然数．$\mathbb{N}$是有限基数, 有限序数全体.它不含超穷数．自然数无穷多, 皆有限数均为事实, 不矛盾】

       〖评注：elim先生的$\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}$中的由此推不出$\aleph_0$不是然数。因为由此的“此”是自然数列的一个截段，它的势就是这个截段中元素的个数，是有限自然数。而$\aleph_0$是$\mathbb{N}$的势，其基数、序数都等于$\aleph_0$。$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$。因为$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$ “既表示把一个个单位加起来的确切计数，又表示它们汇集而成的整体（康托尔语），如自然数10它既表示从$0\overbrace{+1+1+…+1}^{10个1连续相加}$，又所示$\overline{\overline{\{1，2，…，10\}}}=10$，故此我们完全有理由说$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n=\in\mathbb{N}$!所以elim先生的【$\color{navy}{由此知\aleph_0不是自然数}$】的论据牵强，逻辑混乱。同时elim先生所说的【自然数无穷多, 皆有限数均为事实 ，不矛盾】这是自掩尴尬的托词，【自然数无穷多】就说了自然数集的势是$\aleph_0$。自然数【皆有限数】则说明$\overline{\overline{\{有限自然数\}}}=\alpha=有限数$。所以这两个事的矛盾是不可调和的对抗性矛盾！
       elim先生的【第一个超穷序数ω=$\mathbb{N}$非有限知ω不是自然数】同义反复，简捷的说就是“ω不是自然数”。其实“ω不是自然数”既不是elim先生的发明，更不是elim先生的发现。从康托尔有穷基数的无穷序列1，2，…，$\nu-2$，$\nu-1$，$\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n$ ，ω，ω+1，…$\}$看确实有$ω\notin\mathbb{N}=\{1,2,…\nu\}$,但$ω\in\{ω，ω+1，…，\}$,ω是康托尔设想的一个“表示（I）的整体和（I）中数之间的一种相继次序”新数（参见康托尔《超穷数理论基础》P43页第3—4行）。ω在超穷自然数集合$\{ω，ω+1，…，\}$中与0在$\mathbb{N}$中一样只有后继没有前趋。虽然$\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n$、$\aleph_0$、ω的值都是无穷，但康托尔认为$\nu= \displaystyle\lim_{n \to \infty} n$、$\aleph_0$、ω是适当的无穷，而$\infty$则是不适当的无穷（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页1—12行）。意即$\infty$不是自然数中的$\infty$是不适当的无穷。〗


       elim认为【根据戴德金(Richard Dedekind)一个集合无穷当且仅当它有与之时等的真子集；一个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集．

       〖评注： 运用楼主提供的【戴德金(Richard个集合有穷当且仅当它无与之对等的真子集。】我们很容易证得$\mathbb{N}$是无限集，并且$v=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}$．
       【证明1：】设集合$\mathscr{A}=\{x:x=2n\quad n\in\mathbb{N}$,建立$\mathbb{N}$到$\mathscr{A}$的一一映射$f(n)=2n$,易证$\overline{\overline{\mathbb{N}}}=$$\overline{\overline{\mathscr{A}}}$，所以$\mathbb{N}$是无限集！
       【证明2：】建立$\mathbb{N}$到$\mathbb{N}$的一一映射$f(x)=x$,因为$\overline{\overline{\mathbb{N}}}=$$\overline{\overline{\mathbb{N}}}$，所以$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\in\mathbb{N}$〗

春风晚霞

你跟我急有什么用，你能用康托尔实正整数第一生成法则或皮亚诺公理证明你的命题【自然数皆有限数】吗？我侻“受教了，但我并不认同你的观点”这是学术交流的客套话？难道你非要我接受你的那个十言九错的“定理”吗？集合论是康托创立的，超穷数理论也是康托尔提出来的。你说我不信康托尔的来信你的，有这种可能吗？

elim

无论孬种咋扑腾，咋驴滚，它推翻不了主贴．
超穷数存在于无穷集$\color{red}{\mathbb{N}}$之外, 没有超穷自然数

蠢疯白痴真身被验明, 孬氏船漏不打一处来．

春风晚霞

$\huge\color{red}{再论\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}}$

       方嘉琳先生在《集合论》133页给出了孤立序数和极限序数的概念，方嘉琳先生认为：有直前（直接前趋）的序数叫孤立序数。没有直前（直接前趋）的序数叫极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页定义3）。并指出有限序数中（除0外）皆为孤立序数，设$\xi$为序数，则形如$\xi+\eta$的序数也是孤立序数。而$\omega，\omega+\omega$等都是极限序数。（参见方嘉琳《集合论》P133页9—10行）。
       在康托尔《超穷数理论基础》中，给出了一个重要的实正整数生成法则，$\overline{\overline{E_{\nu}}}=$$\overline{\overline{E_{\nu-1}}}+1$。这个法则亦称康托尔实正整数第一生成法则。不难看出这个法与皮亚诺公理的第二条是一致的。其实质都是根据前的数生成后边的数数。所不同的是皮亚诺公理第二条是的对像是“每一个确定的自然数”；而康托尔实正整数第一生成法则的对像是已生成的实正整数整体（即已生成的实正数的集合）。
       康托尔在该书的75页给出了有穷基数的无穷数列1，2，3，…，$\nu$，$\omega，\omega+1$，…，不难看出这个$\nu$就是处于极限位置的序数的极限，即是$\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$。康托尔认为实正整数“$\nu$既表示把一个个单位加上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体”（参见康托尔《超穷数理论基础》P42页18—19行），也就是$\nu=\overline{\overline{\{1，2，…，\nu-1，\nu\}}}$，因为$\nu$有直前$\nu-1$，所以$\color{red}{\nu是序数的极限，而不是}$$\color{red}{极限序数\omega!}$。相对于最小可列数集$\mathbb{N}=\{0,1,2,…，\nu-1,\nu\}$而言，说$\nu=\aleph_0$也不为过！
       根据前面对数$\nu$的分析知道普通自然数集$\mathbb{N}$是由有限数和无穷数两大部分组成。亦即对于预先给定的，无论怎样大的自然数$\alpha$，$\mathbb{N}=\{n:n\le\alpha\}$$\cup\{n:n\>\alpha\}$。因此ChatGPT说【自然数集集$\mathbb{N}=\{1，2，3，4，…\}$是一个无限集，意味着它的元无限，但每个自然数都是有限的，我们可以一个接着一个地数出来，对于任何自然数n，我们能找到一个更大的自然数n+1，但这个过程永远不会达到一个无穷大的自然数】是不严谨的。因为【自然数集集$\mathbb{N}=\{1，2，…\}$是一个无限集，意味着它的元无限】，那么表示自然数集$\mathbb{N}$中元素个数的自然数也就是无限的。这个表示$\mathbb{N}$中元素个数的自然数就不是有限的。就是说$\overline{\overline{\mathbb{N}}}=\aleph_0$就是无限的。普通自然数最原始的定义可是“表示事物的个数或编号的数叫自然数”（参见《辞海》自然数词条）。还有数学中的无穷大是集合，是大于预先给定的无论怎样大的正数E的所有数的全体，所以说“这个过程永远不会‘到达’一个无穷大的数”就不是业内人说的行话了。

春风晚霞

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？$nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…$nu$，$\omega，\omega+1$，……你自然知道！

春风晚霞

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？$nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…$nu$，$\omega，\omega+1$，……你自然知道！你反远穷数当成超穷数才是【自曝孬种白痴门户】，其种真孬！

春风晚霞

elim根本就不知道什么是无数，当然也就不知道什么是超穷？$nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n$是无穷自然数，而不是超穷自然数！康托尔的超自然数是指超越无穷的自然然数，而不是指超越有限自然自然数的娄！认是白痴，看看康托尔的有穷基数的无穷序列1，2，…$nu$，$\omega，\omega+1$，……你自然知道！你反远穷数当成超穷数才是【自曝孬种白痴门户】，其种真孬！