趣味幻立方——三阶素数幻立方

yangchuanju · 发表于 2021-8-16 11:22

网页A239671给出的3阶素数幻立方的通用模板
x1 x2 3k/2-x1-x2
x3 x4 3k/2-x3-x4
3k/2-x1-x3 3k/2-x2-x4 -3k/2+x1+x2+x3+x4

-k+X2+X3+X4 2k-2*x2-x4 k/2+x2-x3
2k-2*x3-x4 k/2 -k+2*x3+x4
k/2-x2+x3 -k+2*X2+X4 2k-x2-x3-x4

5k/2-x1-x2-x3-x4 -k/2+x2+x4 -k/2+x1+x3
-k/2+x3+x4 k-x4 k-x3
-k/2+x1+x2 k-x2 k-x1

与钟明给出的3阶素数幻立方通用模板
3阶幻立方的通解模板
钟明
a b 3e-a-b 3e
c d 3e-c-d 3e
3e-a-c 3e-b-d a+b+c+d-3e 3e

3e 3e 3e

b+c+d-2e 4e-2b-d b-c+e 3e
4e-2c-d e 2c-2e+d 3e
c-b+e 2b-2e+d 4e-b-c-d 3e

3e 3e 3e

5e-a-b-c-d b+d-e a+c-e 3e
c+d-e 2e-d 2e-c 3e
a+b-e 2e-b 2e-a 3e
3e 3e
3e 3e 3e 3e 3e
3e 3e 3e
3e 3e 3e
3e 3e 3e

是一样的（进行字母替换后相对位置也相同）。

yangchuanju · 发表于 2021-8-16 11:40

lusishun点评：
我对幻立方体的要求，比大家认可的要高了，标准有差异发表于 2021-8-16 11:31

用9个整数做出简单3阶幻立方就相当难了（9行和、9列和、9竖和、4题对角线和都等于幻和），不存在上下、左右、前后6截面对角线和等于幻和的3阶幻立方！

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 08:44

yangchuanju 发表于 2021-8-16 11:40
lusishun点评：
我对幻立方体的要求，比大家认可的要高了，标准有差异发表于 2021-8-16 11:31

用连续整数1-27，可编制4种格式的3阶幻立方，条件是：9行和、9列和、9竖和、4题对角线和都等于幻和42，共31条直线上3数和等于幻和42。
实际上，上述4格式幻立方的3个中截面的对角线和也都等于幻和42，加上这6个，共37条直线上3数和等于幻和42。
用连续整数1-27，三三相加（3数互不相同），共有85组3数和等于42的幻和数组，编制后的幻立方用了37个幻和数组，还有48个幻和数组没有用上。
若鲁先生要求另外的6个二维平面的12条对角线和也都等于幻和42，加上后最多用49个幻和数组，从数量分析有可能实现鲁思顺猜想！
退一步，不考虑4条体对角线和，那种3阶幻立阵早就有人编制过了，不要以为那是鲁先生的专利！

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 08:49

鲁先生如想研究3阶幻立阵，请便！
但不要沾污幻立方的名声！

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 08:50

已经查明，钟明的第7款、第8款3阶素数幻立方的27个素数是相同的，都是
107 149 263 683 797 839 863 977 1019
1259 1373 1439 1487 1553 1619 1667 1733 1847
2087 2129 2243 2267 2309 2423 2843 2957 2999
间距
42 114 420 114 42 24 114 42 240
114 66 48 66 66 48 66 114 240
42 114 24 42 114 420 114 42
组间距
1152 1224 1176 804 756 780 804 756 828
828 756 804 780 756 804 1176 1224 1152
间距不是全部相等的，关系复杂。

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 08:51

第七款
作者钟明面对角行和
2087 2309 263 4659 4659
2423 107 2129 4659 4659
149 2243 2267 —— 4659

1733 1487 1439 4659 4659
1259 1553 1847 4659 4659
1667 1619 1373 —— 4659

839 863 2957 4659 4659
977 2999 683 4659 4659
2843 797 1019 —— 4659
列和 —— —— 体对角线和
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659
竖和
4659 4659 4659 #N/A
4659 4659 4659
4659 4659 4659

第八款
作者钟明面对角行和
839 863 2957 4659 4659
977 2999 683 4659 4659
2843 797 1019 —— 4659

1733 1487 1439 4659 4659
1259 1553 1847 4659 4659
1667 1619 1373 —— 4659

2087 2309 263 4659 4659
2423 107 2129 4659 4659
149 2243 2267 —— 4659
列和 —— —— 体对角线和
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659
竖和
4659 4659 4659 #N/A
4659 4659 4659
4659 4659 4659

经比对后发现，幻立方八是把幻立方七的第一层和第三层平移交换后的产物。
即变换1把幻立方七的上平面和下平面平移交换后还是幻立方。

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 08:52

按数字大小将钟明两幻立方用1-27表示，转换后不再是幻立方：
—— 第七款 —— 面对角幻和
19 23 3 42 45
24 1 20 42 45
2 21 22 —— 45

17 13 12 42 42
10 14 18 42 42
16 15 11 —— 42

6 7 26 42 39
8 27 4 42 39
25 5 9 —— 39
列和 —— —— 体对角线和
45 45 45 42 42
43 42 41 42 42
39 39 39
竖和
42 43 41 #N/A
42 42 42
43 41 42

—— 第八款 —— 面对角幻和
6 7 26 42 39
8 27 4 42 39
25 5 9 —— 39

17 13 12 42 42
10 14 18 42 42
16 15 11 —— 42

19 23 3 42 45
24 1 20 42 45
2 21 22 —— 45
列和 —— —— 体对角线和
39 39 39 42 42
43 42 41 42 42
45 45 45
竖和
42 43 41 #N/A
42 42 42
43 41 42

幻和、列和、竖和中均有许多不等于幻和42，但4条体对角线和等于幻和42；
原因是钟明的3阶素数幻立方中的27素数不是等差的。

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 09:00

既然钟明的第七款3阶素数幻立方可进行上下层交换，那么左右两截面可不可以交换？前后两截面可不可以交换：试试看！
第七款左右面交换
—————— 面对角行和
263 2309 2087 4659 4659
2129 107 2423 4659 4659
2267 2243 149 —— 4659

1439 1487 1733 4659 4659
1847 1553 1259 4659 4659
1373 1619 1667 —— 4659

2957 863 839 4659 4659
683 2999 977 4659 4659
1019 797 2843 —— 4659
列和 —— —— 体对角线和
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659
竖和
4659 4659 4659 #N/A
4659 4659 4659
4659 4659 4659
变换2把幻立方七的左平面和右平面平移交换后也是幻立方。

第七款前后面交换
—————— 面对角行和
149 2243 2267 4659 4659
2423 107 2129 4659 4659
2087 2309 263 —— 4659

1667 1619 1373 4659 4659
1259 1553 1847 4659 4659
1733 1487 1439 —— 4659

2843 797 1019 4659 4659
977 2999 683 4659 4659
839 863 2957 —— 4659
列和 —— —— 体对角线和
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659 4659 4659
4659 4659 4659
竖和
4659 4659 4659 #N/A
4659 4659 4659
4659 4659 4659
变换3把幻立方七的前平面和后平面平移交换后也是幻立方。

综上分析，钟明所编制的第七款3阶幻立方可进行上下面、左右面、前后面平移交换，交换后幻立方性质不变！

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 09:05

已知：3阶幻立方只存在4个解（John R. Hendricks1972年证明）
第一款第二款
18 22 2 12 23 7
20 9 13 22 9 11
4 11 27 8 10 24

23 3 16 26 1 15
7 14 21 3 14 25
12 25 5 13 27 2

1 17 24 4 18 20
15 19 8 17 19 6
26 6 10 21 5 16

第三款第四款
16 23 3 10 24 8
20 9 13 23 7 12
6 10 26 9 11 22

24 1 17 26 1 15
7 14 21 3 14 25
11 27 4 13 27 2

2 18 22 6 17 19
15 19 8 16 21 5
25 5 12 20 4 18

将钟明所编制的第七款3阶素数幻立方，按John R. Hendricks4格式变换，变换后都不再成幻立方，原因同样是27个素数不是等差的！

yangchuanju · 发表于 2021-8-17 09:13

3阶幻立方的通解模板
钟明
a b 3e-a-b
c d 3e-c-d
3e-a-c 3e-b-d a+b+c+d-3e

b+c+d-2e 4e-2b-d b-c+e
4e-2c-d e 2c-2e+d
c-b+e 2b-2e+d 4e-b-c-d

5e-a-b-c-d b+d-e a+c-e
c+d-e 2e-d 2e-c
a+b-e 2e-b 2e-a

用该模板对钟明、牛学良的13款3阶素数幻方注意检验，都成立！说明鈡年的各款3阶素数幻立方都是按同一模板编制的！
该模板与OEIS网页提供的模板、俄罗斯人士编制第3、第4幻和3阶素数幻立方所用模板是相同的（表达式不一样，但最终可转换成同一格式）。

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