[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？

大傻8888888

    按照天山草先生的提法拉曼纽扬系数为c1，则∏[1-1/（p-2)^2]为c2，∏[1-1/（p-3)^2]为c3.........∏[1-1/（p-k)^2]为ck。在这个c的系列里我认为拉曼纽扬系数c1这个常量的值是最小的，这是因为第一它的第一个因子3/4是最小的，第二它后面的因子数量比其他c系列都要多，第三它后面的因子的值也比其他c系列都要小。不知大家是否可以认同？
    另外c1按照数学标准写法应该是一个大c，右下角一个小1。以前我也曾经找到一个数学软件，也能按数学标准写法列出式子，可是复制以后再粘贴后却完全不是那回事。希望天山草先生和其他网友指点我一下这个问题如何解决，我在这里先谢谢啦！

天山草

下面引用由大傻8888888在 2011/10/13 08:10am 发表的内容：
另外c1按照数学标准写法应该是一个大c，右下角一个小1。以前我也曾经找到一个数学软件，也能按数学标准写法列出式子，可是复制以后再粘贴后却完全不是那回事。

我现在用的是 word2007 文字处理软件，里面的数学公式编辑器还算是比较好用的。别的数学公式编辑器，我没有用过。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/13 01:11pm 第 1 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2011/10/12 07:47pm 发表的内容：
∏[1-1/（p-2)^2]的终极是多少？是有限的计算还是证明的结果？
是否可以证明它不是无穷小？是否可以证明它趋于一个常数？

这个连乘积的极限本人定义为 C2，它是一个大于零的常数，实算情况是：
素数范围     连乘积结果
------------------------------
0.1 亿   0.819802451367545  
0.2 亿   0.819802448870905
0.3 亿   0.819802448069681
------------------------------
因此，可以肯定， 0.8198025 > C2 > 0.8198024。
至于理论上证明有大于零的极限， 这个应该不困难吧？ 陆教授能证明这个小题目。

ysr

数值虽然不算完美的证明，却是有利的证据，很好玩！继续！

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/13 02:35pm 第 1 次编辑]

下面是前 100 个 C 系数的大概值：
C1     0.6601618
C2     0.8198024
C3     0.6708911
C4     0.8402588
C5     0.6995361
C6     0.9136965
C7     0.8821704
C8     0.8218582
C9     0.6728058
C10    0.8430124
C11    0.7021951
C12    0.9177718
C13    0.8868498
C14    0.8271250
C15    0.6781131
C16    0.8513854
C17    0.7112251
C18    0.9336034
C19    0.9083474
C20    0.8571665
C21    0.7187089
C22    0.9500455
C23    0.9382492
C24    0.9201934
C25    0.8898283
C26    0.8307658
C27    0.6821664
C28    0.8586062
C29    0.7202795
C30    0.9528430
C31    0.9421288
C32    0.9258107
C33    0.8983614
C34    0.8443332
C35    0.7034026
C36    0.9195139
C37    0.8887196
C38    0.8290758
C39    0.6799166
C40    0.8539621
C41    0.7137003
C42    0.9373849
C43    0.9126902
C44    0.8620851
C45    0.7237580
C46    0.9584171
C47    0.9489345
C48    0.9342622
C49    0.9090250
C50    0.8578440
C51    0.7193123
C52    0.9508952
C53    0.9391457
C54    0.9211359
C55    0.8908090
C56    0.8317551
C57    0.6830483
C58    0.8598175
C59    0.7213952
C60    0.9544745
C61    0.9439263
C62    0.9277969
C63    0.9005522
C64    0.8467034
C65    0.7057104
C66    0.9231043
C67    0.8929423
C68    0.8340023
C69    0.6851458
C70    0.8628439
C71    0.7243335
C72    0.9590226
C73    0.9492555
C74    0.9340963
C75    0.9080374
C76    0.8555071
C77    0.7151394
C78    0.9395080
C79    0.9150326
C80    0.8646170
C81    0.7262182
C82    0.9622367
C83    0.9534350
C84    0.9396275
C85    0.9154771
C86    0.8655560
C87    0.7277509
C88    0.9660058
C89    0.9603609
C90    0.9527241
C91    0.9418770
C92    0.9253947
C93    0.8977482
C94    0.8435023
C95    0.7024339
C96    0.9177709
C97    0.8864192
C98    0.8261491
C99    0.6766291
C100   0.8482497
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
算出这些系数值，大概不到五分钟的时间。还是计算机好玩吧？

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/13 02:49pm 第 1 次编辑]

下面引用由ysr在 2011/10/13 01:33pm 发表的内容：
数值虽然不算完美的证明，却是有利的证据，很好玩！继续！

下面可以玩的，应当是算一下主帖中 n = 1 到 n = 70 的极限都是什么东东？
另一个好玩的，就是设法算出前 100 个 An 系数，要求不带任何误差，看看它们是不是全为整数？
再就是提出一个猜想：所有的 An 系数皆为整数。这个猜想的证明也许很有趣。
不着急，慢慢地玩吧，希望大家能玩得高兴。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/19 10:44am 第 6 次编辑]

下面算一下主帖中 n = 1 到 n = 70 的极限都是什么东东？
 n     理论公式的极限    直接算连乘积的极限
--------------------------------------------
 1    0.561459483566885       0.561459
 2    0.832429045679882       0.832426
 3    3.03533387848974        3.035331
 4    2.47512130746936        2.475118
 5    16.9589741426924       16.958959
 6    16.2570894103043       16.257048    
 7    199.349893276014      199.349506  
 8    308.065923830833      308.064519  
 9    391.262485672788
 10   334.335493056293
 11   5298.50564578422
 12   5360.3040977721
 13   129399.772502261
 14   213100.425644324
 15   290272.751207253
 16   268120.706755678
 17   7169016.12552304
 18   8019493.00020255
 19   318258703.548666
 20   603826324.204169
 21   981994341.058819
 22   1147780786.75852
 23   58628819951.4592
 24   122166947392.767
 25   234247737767.659
 26   399671612306.185
 27   566512907407.508
 28   547780591364.602
 29   26377005236271.2
 30   31546224313854.1
 31   2.22885761710338E+15
 32   4.78592458596957E+15
 33   9.51418455929011E+15
 34   1.69913691683651E+16
 35   2.56211752100031E+16
 36   2.7175258643662E+16
 37   1.96127433167655E+18
 38   3.3998991664947E+18
 39   4.88638821761746E+18
 40   4.77491388825249E+18
 41   3.26734932011118E+20
 42   3.891863641669E+20
 43   3.7371116010756E+22
 44   7.61674560856672E+22
 45   1.3382984448742E+23
 46   1.70188367713125E+23
 47   1.94979602188718E+25
 48   4.51010720790471E+25
 49   9.74660416652525E+25
 50   1.91467743587148E+26
 51   3.22660816040721E+26
 52   3.91123871511036E+26
 53   4.77882292887916E+28
 54   1.03462902852726E+29
 55   2.06334613266911E+29
 56   3.66559191175307E+29
 57   5.41641099830584E+29
 58   5.46676649177564E+29
 59   5.59806225301093E+31
 60   7.00916300907882E+31
 61   1.02192437412406E+34
 62   2.30557687152222E+34
 63   4.82606729094307E+34
 64   9.09737361402778E+34
 65   1.45201128697927E+35
 66   1.63549970982913E+35
 67   2.27869669735684E+37
 68   4.23127418424049E+37
 69   6.55274189632974E+37
 70   6.95277148162066E+37
-----------------------------
后来，找到了这些极限的完整表达式，算出前 100 个极限如下：
  n        理论值            直接笨算
-------------------------------------
  1     0.561459483566885     0.561459
  2     0.832429068007078     0.832427
  3     3.03533422226107      3.03533
  4     2.475121945329        2.4751
  5     16.9589815661242     16.9589
  6     16.2570997261481     16.2570
  7     199.350059285009    199.349
  8     308.066249601756    308.06
  9     391.262999036562
  10    334.336055401857
  11    5298.51709339324
  12    5360.31877667804
  13    129400.211783143    129399.
  14    213101.301019205
  15    290274.155957487
  16    268122.230339354
  17    7169062.93214713
  18    8019552.66829105
  19    318261373.533515
  20    603831997.063153
  21    982004632.26822
  22    1147794081.75896
  23    58629569520.5039
  24    122168666515.082
  25    234251347148.367
  26    399678319148.663
  27    566523225337.558
  28    547791389836.658
  29    26377564958849.7
  30    31546944169134.8
  31    2.22891204333047E+15
  32    4.78604961381376E+15
  33    9.51444945709148E+15
  34    1.69918731465749E+16
  35    2.56219834784358E+16
  36    2.71761706737679E+16
  37    1.96134416092488E+18
  38    3.40002745151434E+18
  39    4.88658322287162E+18
  40    4.7751154436208E+18
  41    3.26749483049403E+20
  42    3.89204607439067E+20
  43    3.73729553152469E+22
  44    7.61713894984202E+22
  45    1.33837080512428E+23
  46    1.70197999168607E+23
  47    1.949911480216E+25
  48    4.51038654871388E+25
  49    9.74723512305877E+25
  50    1.91480690186966E+26
  51    3.22683597135084E+26
  52    3.91152677159223E+26
  53    4.77918956821884E+28
  54    1.03471165105706E+29
  55    2.06351754222291E+29
  56    3.66590835736249E+29
  57    5.41689665537043E+29
  58    5.46727504528514E+29
  59    5.59860207734386E+31
  60    7.00986297564437E+31
  61    1.02202996035485E+34
  62    2.30582319442593E+34
  63    4.82660020512363E+34
  64    9.09841119242587E+34
  65    1.45218232446341E+35
  66    1.63569850409176E+35
  67    2.2789823199431E+37
  68    4.23182086233411E+37
  69    6.55361449667684E+37
  70    6.9537258293786E+37
  71    9.04013343588607E+39
  72    1.19898112315511E+40
  73    2.22654546343077E+42
  74    5.37664136634145E+42
  75    1.21278067611454E+43
  76    2.4840323129344E+43
  77    4.35267118941411E+43
  78    5.45437794413514E+43
  79    1.01459374513731E+46
  80    2.18599229363011E+46
  81    4.07219784984358E+46
  82    5.50904460965231E+46
  83    1.19045710069174E+49
  84    2.95504593899551E+49
  85    6.89240014494673E+49
  86    1.47171677949118E+50
  87    2.72002691201289E+50
  88    3.6585157183768E+50
  89    8.46128636952941E+52
  90    2.11160330579253E+53
  91    5.0205981342444E+53
  92    1.12432736443128E+54
  93    2.33000652968593E+54
  94    4.33486995871243E+54
  95    6.80270006958835E+54
  96    7.49880544803689E+54
  97    1.47176635414462E+57
  98    2.63969092668492E+57
  99    3.91134158922362E+57
  100   3.91864692210385E+57
------------------------------------
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
用直接连乘的笨方法计算前 8 个极限，结果与上表前 8 个数据全都一致。

大傻8888888

下面引用由天山草在 2011/10/13 02:31pm 发表的内容：
下面是前 100 个 C 系数的大概值：
C1     0.6601618
C2     0.8198024
C3     0.6708911
...

由这些值可以看出果然C1 = 0.6601618 的值最小。

wangyangkee

1， 大傻8888888 、天山草二位老师的论证或验证，喷珠滚玉，一道亮丽的风景；
2，通过计算验证，表明：连乘积∏[1-1/（p-2)^2]不是无穷小；
   
    但是，毕竟没有证明；这个没有证明结果-----不是无穷小的结果-----自然的进入后续的论证中，有循环之嫌，，，
   
3，虽有循环之嫌，但是，在此大楼和相关的大楼内的论证，明显的，闪耀着大傻888888老师卓而不凡的智慧的光辉，，，

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/10/14 04:47pm 第 2 次编辑]

下面引用由wangyangkee在 2011/10/14 10:07am 发表的内容：
连乘积∏[1-1/（p-2)^2]不是无穷小；