请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

下面引用由ygq的马甲在 2012/04/17 06:25pm 发表的内容：
可定向或不可定向，是拓扑性质，而且是不能通过拓扑变换来改变的
不可定向，例如 Kline 瓶的这种表面，即单侧曲面

查《数学辞海》第二卷有关拓扑的词条，只有定向集和定向点集，没有定向平面。

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2012/04/17 06:35pm 发表的内容：
查《数学辞海》第二卷有关拓扑的词条，只有定向集和定向点集，没有定向平面。

关键限定词是：可定向、不可定向[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%8F%AF%E5%AE%9A%E5%90%91%E6%B5%81%E5%BD%A2
维基百科词条《可定向性》

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/17 08:06pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/17 06:22pm 发表的内容：
射影平面除了比欧氏平面多了一条无穷远直线外，似乎还有如下的不同：
射影平面只有一个面，而欧氏平面有两个面。
请问陆老师：是不是这样呢？

欧氏平面是“双侧的”，射影平面是“单侧的”，或者说，欧氏平面是
“可定向的”，射影平面是“不可定向的”，不管那一种说法比较标准，
总之，它指的是：在平面上一点作一个法向量，然后让这一点连续移动，
如果不管怎样移动，回到原来的起点时，法向量方向总是不变，就说这个
面是“双侧的”“可定向的”，如果有一条路线，使得这一点绕一圈回到
起点时，法向量方向正好相反，就说这个面是“单侧的”“不可定向的”。
而这件事情，与“无穷远直线”是有密切关系的。
在射影平面上，正因为有一条无穷远直线，所以，带法向量的点，可以移动到
无穷远直线处，并穿越无穷远直线，而穿过无穷远直线后，法向量方向就反过
来了。所以，射影平面是“单侧的”“不可定向的”。
在欧氏平面上，没有一条无穷远直线，所以，带法向量的点，不可能穿越无穷远
直线，所以，法向量方向永远不会反过来。所以，欧氏平面是“双侧的”“可定
向的”。
由此可见，有没有“无穷远直线”才是关键，我们把欧氏平面与射影平面的区别，
归结为“射影平面比欧氏平面多了一条无穷远直线”，是有道理的。

天茂

请问陆老师：直线有没有“单侧的”和“双侧的”、“可定向的”和“不可定向的”区别？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/18 07:15am 发表的内容：
请问陆老师：直线有没有“单侧的”和“双侧的”、“可定向的”和“不可定向的”区别？

好像没有听说过这样的区别。

ygq的马甲

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 08:27am 发表的内容：
好像没有听说过这样的区别。

讨论可定向与不可定向，往往涉及到“自相交”问题的，例如 Kline 瓶在三维空间中。而一维的直线，讨论起来比较困难，所以讨论的人比较少吧

luyuanhong

下面是我从维基百科（Wikipedia）查到的有关“可定向”的解释：

天茂

请问陆老师：下面两个单侧面图形有没有本质的不同？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/18 00:06pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/04/18 08:27am 发表的内容：
好像没有听说过这样的区别。

直线没有侧面，所以当然不可能有“单侧的”和“双侧的”区别。
但是，难道不可以通过法向量的不同来确定直线“可定向的”和“不可定向的”区别？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/18 11:57am 发表的内容：
请问陆老师：下面两个单侧面图形有没有本质的不同？

我在网上查了一下，右面的曲面称为“罗马曲面（Roman surface）”，网上说：
“罗马曲面（Roman surface），是从射影平面到三维空间一个更加退化的映射，包含
一个交叉帽（cross-cap）。同样对具有一个交叉套的球面也成立。”
左面的图形，就是戴一个“交叉帽”的球面，看来，这两个图形本质上应该是相同的。