m,n,k 为正整数，25n^2+508n+k=m^2 ，2400≤k≤2410 ，求 m 的值

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/03/25 06:24pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

M,n,k为正整数，25n^2+508n+k=m^2, 2400<=k<=2410,求m? 不妨设m=5n+a 25n^2+508n+k=(5n+a)^2=25n^2+10an+a^2 (10a-508)n-( k-a^2)=0 N= (k-a^2)/(10a-508) A=50 N= (2404-2500)/8=96/8=12 可以求得 M=110

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/03/25 07:03pm 第 1 次编辑]

楼上 moranhuishou 得到的答案正确，但是没有说清楚为什么只有这一个解。
在推导时，中间式子也有一点写错，(2404-2500)/8 应该是 (2404-2500)/(-8) 。
下面是我的详细解答：

moranhuishou

完善一下： M,n,k为正整数，25n^2+508n+k=m^2, 2400<=k<=2410,求m? 不妨设m=5n+a 25n^2+508n+k=(5n+a)^2=25n^2+10an+a^2 (10a-508)n-( k-a^2)=0 N= (k-a^2)/(10a-508) A=50 N= (2404-2500)/-8=96/8=12 可以求得 M=5*12+50=110 由原题k=2400~2410,固定为k=2404之后在浮动+-6之内不可能再有m=109或111，所以m=110是唯一解。