过 P(2,1) 作互相垂直线 AB,CD，与圆 x^2+y^2=4 交于 A,B,C,D，求 ABCD 面积的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

ccmmjj

如图，可以预计最大值取得时四边形关于ＯＰ对称。作为填空题，不必做严格证明。

这时候对应四边形是一个梯形，对应锐角为45度。
利用中位线定理，可以知道　ＡＤ+ＢＣ＝2√（2^2+1^2）=2√5.
设ＰＡ＝x，利用余弦定理，可得　x^2+(√5)^2-2√5xcos45°=2^2,化简
得　x^2-√10x+1=0.计算▕x1-x2▏=▕ＡＢ▏＝√(10-4)=√6。梯形高为ＡＢcos45°＝√3.
所以梯形面积为　√5•√3＝√15.

utgarylee

楼上的图显然不对，应该注意到P的坐标是（2,1）.

utgarylee

经过严格计算，结果确实如ccmmjj所说，过几天贴出计算过程。

utgarylee

经过严格计算，结果确实如ccmmjj所说，过几天贴出计算过程。

luyuanhong

谢谢楼上 ccmmjj 的解答。下面是此题的详细解答过程：