求 [(2013/1)^(1/5)]+[(2013/2)^(1/5)]+[(2013/3)^(1/5)]+…+[(2013/2013)^(1/5)]

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

[(2013/1)^(1/5)]=4
[(2013/2)^(1/5)]~ [(2013/8)^(1/5)]=3
[(2013/9)^(1/5)]~ [(2013/61)^(1/5)]=2
[(2013/62)^(1/5)]~ [(2013/2013)^(1/5)]=1
[(2013/1)^(1/5)]+[(2013/2)^(1/5)]+[(2013/3)^(1/5)]+…+[(2013/2013)^(1/5)]
=4*1+3*7+2*53+1*1952=4+21+106+1952=2083

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/04/17 11:38am 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2013/04/17 08:56am 发表的内容：
[(2013/1)^(1/5)]=4 ，
[(2013/2)^(1/5)]~ [(2013/8)^(1/5)]=3
[(2013/9)^(1/5)]~ [(2013/61)^(1/5)]=2
[(2013/62)^(1/5)]~ [(2013/2013)^(1/5)]=1
[(2013/1)^(1/5)]+[(2013/2)^(1/5)]+[(2013/3)^(1/5)]+…+[(2013/2013)^(1/5)]
=4*1+3*7+2*53+1*1952=4+21+106+1952=2083

楼上答案略有一些错误，现改正如下：
[(2013/1)^(1/5)] = 4 ，
[(2013/2)^(1/5)]～[(2013/8)^(1/5)] = 3 ，
[(2013/9)^(1/5)]～[(2013/62)^(1/5)] = 2 ，
[(2013/63)^(1/5)]～[(2013/2013)^(1/5)] = 1 ，
[(2013/1)^(1/5)]+[(2013/2)^(1/5)]+[(2013/3)^(1/5)]+…+[(2013/2013)^(1/5)]
= 4×1 + 3×7 + 2×54 + 1×1951 = 4 + 21 + 108 + 1951 = 2084 。

我已将改正后的答案转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。  

drc2000

下面引用由luyuanhong在 2013/04/17 11:36am 发表的内容：
楼上答案略有一些错误，现改正如下：
= 4 ，～= 3 ，～= 2 ，～= 1 ，+++…+= 4×1 + 3×7 + 2×54 + 1×1951 = 4 + 21 + 108 + 1951 = 2084 。
我已将改正后的答案转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

此解法有暴力嫌疑，你能够始终确定没有误差积累到”质变”？
看不出是如何应用富比尼定理的。虽然出了结果，但解法还有商榷。

luyuanhong

解 因为
      2013/1^5 = 2013 ＞ 2012 ，
63 ＞ 2013/2^5 = 2013/32 = 62.90… ＞ 62 ，
9 ＞ 2013/3^5 = 2013/243 = 8.28… ＞ 8 ，
2 ＞ 2013/4^5 = 2013/1024 = 1.96… ＞ 1 ，
1 ＞ 2013/5^5 = 2013/3125 = 0.64… ＞ 0 。
所以
(2013/2013)^(1/5) = 1 ＜ (2013/2012)^(1/5) ，
(2013/63)^(1/5) ＜ 2 ＜ (2013/62)^(1/5) ，
  (2013/9)^(1/5) ＜ 3 ＜ (2013/8)^(1/5) ，
  (2013/2)^(1/5) ＜ 4 ＜ (2013/1)^(1/5) 。
所以
  k = 1 时，[(3013/k)^(1/5)] = 4 ，
2≤k≤8 时，[(3013/k)^(1/5)] = 3 ，
9≤k≤62 时，[(3013/k)^(1/5)] = 2 ，
63≤k≤2013 时，[(3013/k)^(1/5)] = 1 。
所以
[(2013/1)^(1/5)]+[(2013/2)^(1/5)]+[(2013/3)^(1/5)]+…+[(2013/2013)^(1/5)]
= 4×1 + 3×7 + 2×54 + 1×1951 = 4 + 21 + 108 + 1951 = 2084 。