抄本第五、六题

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第五题

释题：图中甲圆直径1寸，求图中等圆、乙圆及丁圆直径。
释图：两等圆外切，并有一公切线在下。甲圆切此两圆及公切线。乙圆切甲圆公切线及一等圆。丁圆外切两等圆及甲圆。

第六题

释题：图中两斜线段各长三寸，求甲圆直径。
释图：图中正方形，下边为直径有一半圆，过上边中点作圆切线并交正方形侧边成斜线段，甲圆切此两斜及半圆。

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关于第五题的处理
先求等圆直径

设所求圆半径为x,已知圆半径为a,则如图作辅助线由勾股关系知
(x-a)^2+x^2=(x+a)^2, 化简得　x^2＝４ax即x=4a。
若2a=1寸，则2x=4寸。
再求乙圆直径

设乙圆半径为x，其它两圆半径分别为a,b。则由水平线相等关系有
√[(a+x)^2-(a-x)^2]+√[(b+x)^2-(b-x)^2]=√[(a+b)^2-(a-b)^2]化简得√ax+√bx=√ab
解出 x=ab/(√a+√b)^2
若2a=1,2b=4,则2x=4/9寸。
最后求丁圆直径。

一般情况下，夹在不同三圆间的切圆半径是不易求的，因为要解一个四次方程。但本例特殊在于两圆相等。
设所求圆半径为x,两等圆半径为a,另一圆半径为b,考虑到等腰三角形底边高线长，可以列出
√[(a+x)^2-a^2]+(b+x)=√[(a+b)^2-a^2]即√（x^2+2ax）=√(b^2+2ab)-b-x
为了计算方便，我们把2a=4,2b=1,2x=y代入：√(y^2+8y)=√(1+8)-1-y=2-y.
平方得　y^2+8y＝y^2-4y+4；解出 y=1/3寸。

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关于第六题

首先，要证明这两个染色的直角三角形全等。这是容易的，因为从黄色三角形的直角边（半径）和斜边关系，可以知道这是一个有３０度角的直角三角形，而这个３０度角可以传递给下面的三角形，而灰色三角形的一直角边正好等于半径。这样，得正方形边长＝斜长！类似的方法应用到引甲圆半径的小直角三角形上，易知甲圆半径等于正方形边长的六分之一。即知斜长＝3寸，则甲圆直径＝1寸。