请大家思考勾股数的推广

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/05/13 08:30pm 第 4 次编辑]

请大家思考勾股数的推广：

在正三角形网络中，也存在边长为整数的三角形。如上图。
设边长为a，b，交角为60度或120度，根据余弦定理，那么对边c满足：
c^2=a^2+b^2-2abcos60°或
c^2=a^2+b^2-2abcos120°
整理得:a^2-ab+b^2=c^2 或
       a^2+ab+b^2=c^2
合并写成a^2±ab+b^2=c^2
可看出在含60度三角形三边中,三边关系为a^2±ab+b^2=c^2
而含90度三角形三边中,既直角三角形三边关系为a^2+b^2=c^2,前者多个±ab
满足a^2+b^2=c^2的整数组(a,b,c),叫勾股数,
哪满足a^2±ab+b^2=c^2的整数组(a,b,c),又叫什么呢?
我没找到最喜欢的名字,你完全可以用你喜欢的名字,比如什么"申万言数"呀,"飘来飘去数"呀,等等,它呀,就像默默的少女在这里,等着你!

drc2000

[这个贴子最后由drc2000在 2013/05/13 08:49pm 第 1 次编辑]

(3,3,3)这样的等边三角形,你可以写很多很多.您还是写点别的?
(3,5,7)这个比较漂亮,还有别的么?
勾股数的通项是:
a=λ(a^2-b^2)
b=2λa^2b^2
c=λ(a^2+b^2)
(其中λ,a,b都是正整数,且a≥b)

类比勾股数,多写点,找出通项来?

0-1110

drc2000

下面引用由0-1110在 2013/05/13 09:23pm 发表的内容：

强！

cwl

勾股函数

摘要：勾股函数是表述直角三角形各边为整数解的函数关系,勾股函数和三角函数可直接变换.
关键词：素数、三角函数、勾股函数、整数.
GOUGU FUNCTION
Abstract: Gougu function explains that each side of right triangle is the functional relationship of integer solutions, and Gougu function and trigonometric function can be directly transform.
Keyword: primes, trigonometric function, Gougu function, integer

勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以C为半径在圆周上X、Y轴的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.

定义  若素数p≡1  （mod 4）
      则  p=a^2+b^2
我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,a、b为三角形的两直角边.则a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α),那么我们称a为股函数元,记为Cg(p);称b为勾函数元,记为Sg(p).勾股函数和三角函数可直接变换。
引理  若素数p≡1  （mod 4）
      则  p^2=(b^2-a^2)^2+(2ab)^2=(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
这是一勾股函数关系式.我们称pCos(2α)为股函数,记为Cg(2p),称;称pSin(2α)为勾函数,记为Sg(2p).
证明  因为  p=a^2+b^2
       所以  p^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2）
                =a^2+2ab+b^2
                =(b^2-a^2)^2+(2ab)^2               
      将  a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α)代入上式,得：
          p^2=(p(Cos(α))^2-p(Sin(α))^2)^2+(2p(Sin(α)Cos(α))^2
             =(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
   故得证.
例  设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解  5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合"勾三股四弦五"的勾股函数关系式.
   在这里我们先了解自然数N=p1p2…pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1  若素数 p1≡p2≡1  (mod 4)
则   (p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明    因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
         所以 p1p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
                  =(Cg(p1)Cg(p2)-Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)+Cg(p1)Sg(p2))^2
        或    p1p2=(Cg(p1)Cg(p2)+Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)-Cg(p1)Sg(p2))^2
       又因为 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)Cg(p))^2+(2Sg(p)Cg(p))^2
                                   =(Cg2(p))^2+(Sg(p2))^2
       同理  （p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
故得证.
也就是说，两个互素的素数,且被4整除余1,则这两个数积的平方,可表示为两组勾股数.
定理2  若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1  （mod 4）
         则   (p1p2p…pm)^2=( Cg2(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg2(p1±p2±…±pm))^2
证明   用数学归纳法证明
           p1p2p…pm=(Cg(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg(p1±p2±…±pm))^2
        令 m=1时,p1=(Cg(p1)^2+(Sg(p1))^2,等式成立;
        令m=k-1时,
          (p1p2…p(k-1)=(Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2
        等式成立;
        令m=k时,
(p1p2…pk)=((Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2)(Cg(pk)^2+ Sg(pk)^2)
=(Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2
等式成立.
        又因为  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=(Cg2(p))2+(Sg(p2))^2  
        同理   （p1p2p…pm)^2=((Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2)^2
      =(Cg2(p1±p2±…±pm))^2+(Sg2(p1±p2±…±pm)^2
也就是说,m个互素的素数,且被4整除余1,则这m个素数积的平方,可表示为2^(m-1)组勾股数.

任在深

《中华单位论》的中华簇：

        [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
(√Xˆn)²+(√Yˆn)²=(√Zˆn)², X,Y,Z∈N,n=0,1,2,,,

drc2000

    上两楼，陈先生把勾股数推广到“勾股函数”，申先生引入“中华单位论的中华簇”。均属非凡呀。
    勾股数本质上是直角坐标系下整点的问题。
    而在60度，或120度仿射坐标系下，其整点的问题，陈先生和申先生也谈谈看法吧？

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2013/05/14 09:32pm 第 1 次编辑]

下面引用由drc2000在 2013/05/14 08:11pm 发表的内容：
上两楼，陈先生把勾股数推广到“勾股函数”，申先生引入“中华单位论的中华簇”。均属非凡呀。
    勾股数本质上是直角坐标系下整点的问题。
    而在60度，或120度仿射坐标系下，其整点的问题，陈先生和申先生　...

楼主您好！
    勾股数并不只是非凡整数问题！
    所谓勾股数是天圆地方中内接正方形的直角边与斜边的结构关系！[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
请问费马大定理是整数吗？不是！
但是它也符合勾股数！！
  如： (√3)²+(√5)²=(√8)²≌3"+5"=8"
        8"表示单位（即面积的量）

drc2000

下面引用由任在深在 2013/05/14 09:19pm 发表的内容：
楼主您好！
    勾股数并不只是非凡整数问题！
    所谓勾股数是天圆地方中内接正方形的直角边与斜边的结构关系！-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在  时添加 -=-=-=-=-
请问费马大定理是整数吗？不是！
...

真深奥。看不懂。