对任何整数 x ，f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 皆被 5 整除，证明 a,b,c,d 皆被 5 整除

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

對任意整數x,整係數多項式 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d之值皆被5整除，
證明 f(x)之各項係數a,b,c,d皆被5整除

fungarwai

f(0)=d,d|5
f(1)=a+b+c+d,(a+b+c)|5
f(-1)=-a+b-c+d,(-a+b-c)|5,2b|5,b|5
f(2)=8a+4b+2c+d,(4a+c)|5,3a|5,a|5,c|5

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/06/16 11:01am 第 1 次编辑]

谢谢楼上 fungarwai 的解答，fungarwai 的做法正确。
不过记号有些写错，d 能被 5 整除，应该写成“5|d”，不应该写成“d|5”。