唯物辩证法下的实数理论

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文献[7] 84页讲道：“鉴于微积分立论的需要，德国的几位数学家维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）戴德金（R.Dedekind）和康托儿才在有理数的基础上分别以不同的形式把实数理论建立起来”。 笔者研究后，发现他们的实数理论，都使用了“无穷集合是完成了的实无穷”的违背事实的错误概念，根据数学是描述现实数量大小及其关系的唯物辩证法，首先应当提出如下的理想实数定义，然后研究其十进小数近似值与康托儿基本数列的极限与实数的关系。
定义3在相对性与暂时性的意义下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。因此，可以提出：现实数量大小（例如线段长度）的绝对准大小的表达符号叫做理想实数（简称为实数）。其中不能用有理数绝对准表达的理想实数叫无理数（例如：π与 ）。
根据无尽是无有穷尽\无有终了的意思,文献[7]中“称无尽小数位实数的定义”是违反实践的；无尽小数应当是以有理数为项的康托儿的基本数列。但在康托儿实数理论中“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号 表示与 等价的基本数列类构成的实数是 ， 叫做 的一个代表[9]。”的说法不恰当，因为：他把数列性质的变数当作定数了，把等价看作相等了。为此，笔者早已提出如下的实数公理。
公理3（实数公理）：每一个理想实数都存在着以它为极限的康托尔的以有理数为项的基本数列；除0以外的每一个理想实数都存在唯一的以它为极限的无尽小数（与现行无尽小数概念不同，笔者称；无尽小数都是根据理想实数算出的针对误差界序列 以十进小数为项不足近似值的康托儿基本数列的简写）表达式，这些基本数列（包括无尽小数）收敛于这个理想实数。反之，每一个康托尔基本数列（或称以有理数为项的柯西基本数列）都存在一个唯一的理想实数（简称为实数）为其极限，而且等价(也称全能近似相等)的康托儿基本数列的极限相同。
这个公理说明：笔者的新实数理论是使用了理想与近似相互依存的具有阴阳两相性的相互依存、相互斗争的对立统一的有生命力的理论。使用这个公理，就可以在不使用“完成了的实无穷观点”。不涉及“排中律能不能应用”的争论下顺利地依次证明：柯西收敛原理与区间套定理、迫敛性定理、单调有界定理、确界定理、有限覆盖定理[4]。还可以知道：实数的代数运算是其全能收敛数列逐项代数运算后的极限。下边叙述一下新实数理论解决的几个问题。
问题1：使用“理想实数”的术语，可以得到直角三角形的三边长都是理想实数。依次用  表示两个直角边长与斜边长。根据勾股定理可以得到公式： 。当两个直角边长都是1时，就产生了的第一次数学危机。现行实数理论的解决方法是提出无尽的不循环小数1.4142…… 表述√2，但这个无尽不循环小数1.4142……是永远算不到底的事物。把它看作定数的做法，是使用了“把无穷集合看作完成了整体的违反事实的错误的实无穷观点”。 笔者的解决方法是：根据定义3，√2是一个理想实数性质的无理数，它的绝对准十进小数是不存在的。因此需要针对误差界序列{1/10^n}算出它的以十进小数为项不足近似值，可以提出它的不足近似值的康托儿基本数列是1.4，1.41，1.414，……，这个数列可以简写为无尽的不循环小数1.4142……，但这个无穷数列是永远算不到底的理想事物。所以无尽不循环小数不是定数，这个不足近似值数列的极限才是实数；现行教科书中的等式 不成立。应当将等式右端写作：无穷数列1.4，1.41，1.414，……的极限。或将等式改写为全能近似等式 ，这个表达式 表示一系列近似等式： 无尽不循环小数1.4142……是理想实数√2的针对误差界序列{1/10^n}算出一个全能近似表达式。还必须知道：虽然现代计算技术进步了，求√2的开方运算可以算到两千万亿位小数值，但永远算不到底的性质依然存在；实际应用时，必须使用这个数列中的有限位数字作为√2的近似值。现代科学计算器给出的32位有效数字，其精确度通常是够用的：如果直角三角形两边长数据只准确到小数点后两位，用1.4142 就够了。解决第一次数学危机的方法是：必须承认现实数量研究中存在着不可公度的问题，承认使用十进小数近似 表示√2的方法。
问题2：寻找有理数1/3的十进小数表达式时， 遇到了永远除不尽的问题。根据1被3的运算，虽然可以知道在0.333…（无尽循环小数)中的每一位都是3，但无穷多个3是永远写不出来，也需要使用有尽位小数去近似表示理想实数1/3。
问题3（圆与圆周率的概念问题）：几十年中笔者看到这个问题的不同论述提出理想与现实对立统一的圆与圆周率的概念。笔者把数学理论中叙述的“圆周是平面上到圆心等距离的点的集合（或动点运动轨迹）” 叫做理想圆周：把边数足够多的理想圆周的内接或外切正多边形叫做近似圆周。理想与近似之间具有对立统一的关系。圆周率π是一个理想实数，它表示圆周长与其直径的比，表示直径为1的圆周长。它的计算需要使用单位圆的内接或外切正多边形周长的数列极限方法进行。对这个计算结果进行分析后：可以说：圆周率是：无尽不循环小数3.14159265……的极限，但根据无尽不循环小数永远算不到底的性质，这些无尽不循环小数展开式中的“没有100个连续的0”、“有奇数个100个连续的0”、“有偶数个100个连续的0 ”[8]的三个命题都是不可判断的命题。因此，布劳维尔（Brouwer）不能使用排中律与反证法提出违反三分律的实数Q，徐利治介绍的布劳维尔提出的这个反例就不存在了。上述讨论说明，笔者解决第一次数学危机与布劳维尔提出的三分律反例的方法是：绝对准要求的无穷次计算无法达到，只能使用足够准近似方法。

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建立实数理论需要使用唯物辩证法。否则就存在着三分律反例。

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实数理论必须改革。