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7^7^7^…^7 中共有 2019 个 7 ,求此数除以 100 的余数

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发表于 2019-7-22 20:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
餘數問題

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  • · 入先|主题: 17, 订阅: 0
发表于 2019-7-23 10:37 | 显示全部楼层
  7^7^7^…^7 中共有 2019 个 7 ,求此数除以 100 的余数。

  先看 7^n 除以 4 的余数:

    7^1=7≡3(mod 4),7^2=49≡1(mod 4),7^3=343≡3(mod 4),7^4=2401≡1(mod 4),……

    可以看出一个规律:

    7 的奇数次方,除以 4 的余数为 3 ;7 的偶数次方,除以 4 的余数为 1 。

    因为 7^7^…^7(2017 个 7)是奇数,所以 7^7^…^7(2018 个 7)除以 4 的余数为 3 。

    再看 7^n 除以 100 的余数:

    7^1≡7(mod 100),7^2≡49(mod 100),7^3≡43(mod 100),7^4≡1(mod 100),

    7^5≡7(mod 100),7^6≡49(mod 100),7^7≡43(mod 100),7^8≡1(mod 100),……

    可以看出一个规律:

    当 n 除以 4 的余数为 1,2,3,0 时,7^n 除以 100 的余数依次为 7,49,43,1 。

    上面已经推导出: 7^7^…^7(2018 个 7)除以 4 的余数为 3 。

    所以,7^7^7^…^7(2019 个 7)除以 100 的余数为 43 。
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发表于 2021-2-9 11:13 | 显示全部楼层
餘數為7,7^1餘7 mod100 7^2 餘49 7^3 餘43 7^4餘1,有2個7,43(mod100),有3個7,7(mod100),當有2019個7時,7(mod100)
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发表于 2021-2-10 10:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 小fisher 于 2021-2-10 11:11 编辑

好像不管多少个7,结果都是43
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发表于 2021-2-10 13:18 | 显示全部楼层

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发表于 2021-2-12 04:40 | 显示全部楼层

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发表于 2021-2-12 13:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 awei 于 2021-2-12 13:46 编辑

用手机玩,我有一个步骤算错了,换电脑了

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发表于 2021-2-12 19:41 | 显示全部楼层
awei 发表于 2021-2-12 13:40
用手机玩,我有一个步骤算错了,换电脑了

形状不变,7 改 6, 9,解法不变?
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发表于 2021-2-12 20:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 awei 于 2021-2-12 21:36 编辑
王守恩 发表于 2021-2-12 19:41
形状不变,7 改 6, 9,解法不变?


以前没玩过这样的题,6挺有难度,9还得琢磨琢磨,不是特定的数字,不用电脑很费力啊
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