ABCD 是圆内接四边形，P,Q,R,S 是 ΔABD,ΔABC,ΔBCD,ΔCDA 的内心，证明 PQRS 是矩形

ccmmjj · 发表于 2018-3-21 18:06

本帖最后由 luyuanhong 于 2018-3-23 10:51 编辑

如图：Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆上任意四点，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是ＡＢ弧、ＢＣ弧、ＣD弧、ＤＡ弧的中点。ＡＦ、ＡＧ交ＣＥ、ＣＨ于Ｑ、Ｓ点，ＢＨ、ＢＧ交ＤＥ、ＤＦ于Ｐ、Ｒ点。
求证：四边形ＰＱＲＳ是矩形。

这个问题的另一种提法是这样的；
如图；ＡＢＣＤ是圆内接四边形，点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ分别是三角形ＡＢＤ、ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＡ的内心，
求证：四边形ＰＱＲＳ是矩形。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
附注：这个贴为什么取名“太阳的内心”？一是因为我分析一位叫太阳的网友贴得到这个结论，二是因为题目涉及内心。
我不知道这个结论是否有参考资料，知道的网友请告诉我。

ccmmjj126 · 发表于 2018-3-22 08:30

有一个庸俗的结论是：如图，角平分线BD、CE交于F，若A、D、E、F四点共圆，则角A=60度。

malingxiao1984 · 发表于 2018-3-22 19:02

可以先证明A、P、Q、B四点共圆，其它几组也是一样，这样可以确定一些角的关系，证明角PQR=90°

红树 · 发表于 2018-3-22 19:47

红树 · 发表于 2018-3-22 20:23

红树 · 发表于 2018-3-22 21:09

本帖最后由红树于 2018-3-22 21:11 编辑

此题好像被日本数学家给证明，命名数学定理:还有:△ABD的内切圆直径加△BCD的内切圆直径等于△ABC的内切圆直径加△ACD的内切圆直径

红树 · 发表于 2018-3-22 21:09

此题好像被日本数学家给证明，还有:△ABD的内切圆直径加△BCD的内切圆直径等于△ABC的内切圆直径加△ACD的内切圆直径

红树 · 发表于 2018-3-22 21:13

QPSR矩形

红树 · 发表于 2018-3-23 06:46

红树发表于 2018-3-22 21:09
此题好像被日本数学家给证明，命名数学定理:还有:△ABD的内切圆直径加△BCD的内切圆直径等于△ABC的内切 ...

数学研发论坛，发过贴，网友给出连接，是日本数学家证明，这个贴被数学研发论坛版主删帖了

malingxiao1984 · 发表于 2018-3-23 09:37

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ABCD 是圆内接四边形，P,Q,R,S 是 ΔABD,ΔABC,ΔBCD,ΔCDA 的内心，证明 PQRS 是矩形

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