试证 a(1)>0,a(n+1)=ln(1+a(n)), 则 lim n(na(n)-2) = ∞

elim · 发表于 2018-3-28 07:37

本帖最后由 elim 于 2018-3-27 16:59 编辑

jzkyllcjl 发表于 2018-3-27 16:31
你19楼论述是歪曲，我没有使用你的你的那些歪曲过程。
我18楼的证明是使用数学分析中（1）式，与你使用的 ...

狡辩是没有用的。你的过程写清楚了就是这么回事。

你那个第五式左右括号数量都不相等，根本就不是个合法的式子，混什么都比这么混强啊，呵呵

jzkyllcjl · 发表于 2018-3-28 08:06

歪曲是无用的。对分式求极限，可以对分子分母先在求极限意义下化简。我的（5）式是对将要取极限（4）式右端的分子中进行简化，是在求极限相等的要求的意义下进行的简化。

elim · 发表于 2018-3-28 08:10

jzkyllcjl 发表于 2018-3-27 17:06
歪曲是无用的。对分式求极限，可以对分子分母先在求极限意义下化简。我的（5）式是对将要取极限（4）式右 ...

你那个（5）式括号都不配对，根本就不是个算术式子。还有，你的逻辑其实就是 lim(na(n)-2)/a(n)=lim(2-2)/a(n) 绕着扯。根本就没懂什么叫求极限啊，呵呵

jzkyllcjl · 发表于 2018-3-28 12:08

elim 发表于 2018-3-28 00:10
你那个（5）式括号都不配对，根本就不是个算术式子。还有，你的逻辑其实就是 lim(na(n)-2)/a(n)=lim(2-2) ...

我的这个算法使用了你证明的 lim n→∞ na(n)= lim n→∞[2+ 1/3 •a(n-1)+O (a^2(n-1)]=2 (3)
所以得出lim(2-2)/a(n) =0，我还使用过 lim(na(n)-2)= lim1/3 •a(n-1)得出 lim n→∞τ（n）=1/3。我还提出过lim n→∞τ（n）=-1，所以我提出过lim n→∞τ（n）=L(L为有限常数) 这些计算说明对数意义的a(n)没有绝对准计算法方法。但无论如何，由于你没有确实证明过τ（n）→∞ 所以，你的许多帖子都是错误的错误地使用了O.Stolz公式。得到错误的A(n)的极限。我得到的A(n)的极限始终是0. 你的几百帖子都是得到错误的A(n)的极限。

elim · 发表于 2018-3-29 00:43

jzkyllcjl 楼上的东西说明他还不知道极限是什么，根本不可能看懂我区区十几行分析。其他谈也没用。

elim · 发表于 2018-3-29 07:13

本帖最后由 elim 于 2018-3-30 07:19 编辑

我要回答第二楼的问题：为什么 na(n) 似乎总是小于 2？ 2 是不是 na(n) 的上界？
其实 11 楼已经否定了这些基于小 n 的计算，下面是更精细的分析结果：

下面是一些计算验证：

Reading GPRC: gprc.txt ...Done.
GP/PARI CALCULATOR Version 2.9.3 (released)
i686 running mingw (ix86/GMP-6.0.0 kernel) 32-bit version
compiled: Jul 4 2017, gcc version 4.9.1 (GCC)
threading engine: single
(readline v6.2 enabled, extended help enabled)
Copyright (C) 2000-2017 The PARI Group
PARI/GP is free software, covered by the GNU General Public License, and comes
WITHOUT ANY WARRANTY WHATSOEVER.
Type ? for help, \q to quit.
Type ?15 for how to get moral (and possibly technical) support.
parisize = 4000000, primelimit = 500000
(15:56) gp > \p 72
realprecision = 77 significant digits (72 digits displayed)
(15:56) gp > \\ Set up 72+ precision positions
(15:56) gp > \\ Define a(n) as recursion result:
(15:56) gp > a(n)=my(v=0.5);for(k=1,n,v=log(1.+v));return(v);
(15:57) gp > \\ Define na(n):
(15:57) gp > na(n) = n*a(n)
%2 = (n)->n*a(n)
(15:57) gp > m = 8888888
%3 = 8888888
(15:57) gp > aaa = a(m)
%4 = 2.25000044216132665030532250842813971976969537059565617775003653663212045 E-7
(15:59) gp > \\ Init c
(15:59) gp > c = ((2./3)*log(m)-m*(m*aaa-2.))/4
%5 = 2.23775823755171563893482900512968124519988881536917722052013201695027518
(15:59) gp > \\ Set some constants by c
(16:27) gp > cc()=c1=-4*c;c2=2.;c3=(c1-2.)/3;c4=((12.+72*c)*c+1.)/9;c5=-5./3;c6=4*(15*c+2)/9;c7=-((300+1800*c)*c+29)/270;
(16:06) gp > \\ Define asymtotic nb(n) for na(n):
(16:27) gp > nb(n)=my(q=log(n)/3./n);return(2.+(c1+(c4+c7/n)/n/n)/n+q*(2.+(c3+c6/n)/n/n+(c2+c5/n)*q/n));
(16:08) gp > \\ Define asymtotic b(n) of a(n):
(16:09) gp > b(n)=nb(n)/n
%8 = (n)->nb(n)/n
(16:09) gp > cc()
%9 = -35.9775516473352732305837941091705122983421448034777965638690077960996251
(16:09) gp > \\ Refine c:
(16:10) gp > rc()=c=(c-m^2*(b(m)-aaa)/((48*c+4-8*log(m))/3./m-4.+(20*log(m)-12>
(16:12) gp > ref()=my(v=c);for(k=1,7,v=rc());return(v)
%11 = ()->my(v=c);for(k=1,7,v=rc());return(v)
(16:13) gp > ref()
%12 = 2.23775823755197059127070078839538197874637052643388424195634588475419378
(16:13) gp > ref()
%13 = 2.23775823755197059127070078839538197874637052643388424195634644606476959
(16:13) gp > b(m)
%14 = 2.25000044216132665030532250842813971976969537059565617775003653663212045 E-7
(16:13) gp > aaa
%15 = 2.25000044216132665030532250842813971976969537059565617775003653663212045 E-7
(16:13) gp > na(677760)
%16 = 1.99999999999918546366306865085828226409641238635664971790415445534421476
(16:14) gp > na(677761)
%17 = 2.00000000000063675950453735968329108478827481760924704645452559292323738
(16:14) gp > nb(677760)
%18 = 1.99999999999911164393231235515404685157428912958719201482877867167049023
(16:14) gp > nb(677761)
%19 = 2.00000000000056294095274137028255081535172203855123432637250222648870740
(16:15) gp > m = 1842344
%20 = 1842344
(16:21) gp > aaa = a(m)
%21 = 1.08557379178794303415323838093593433837841534725660910882529881216105801
E-6
(16:22) gp > ref()
%22 = 2.23775825092018944161885973473185509866717805839259579758945362416830970
(16:22) gp > b(m)
%23 = 1.08557379178794303415323838093593433837841534725660910882529891215708435 E-6
(16:23) gp > aaa
%24 = 1.08557379178794303415323838093593433837841534725660910882529881216105801 E-6
(16:23) gp > ref()
%25 = 2.23775825092018944161885973473185509866717805839259579767430603764714274
(16:23) gp > b(m)
%26 = 1.08557379178794303415323838093593433837841534725660910882529881216105801 E-6
(16:23) gp > aaa
%27 = 1.08557379178794303415323838093593433837841534725660910882529881216105801 E-6
(16:24) gp > na(677760)
%30 = 1.99999999999918546366306865085828226409641238635664971790415445534421476
(16:24) gp > nb(677760)
%31 = 1.99999999999903274745656801272354020886384772584741900083190384555939479
(16:24) gp > nb(1842343)
%32 = 2.00000036185776612120698279212895889695791338052604291704079874145024171
(16:25) gp > nb(1842344)
%33 = 2.00000036185776612131401381168703301270544324452613025198963631479205226
(16:25) gp > nb(1842345)
%34 = 2.00000036185776612131443511055947138143016491731739291448548380991427976
(16:25) gp > nb(1842346)
%35 = 2.00000036185776612120824697807754681786496038421933904449877689257619287
(16:25) gp > na(1842344)
%36 = 2.00000036185776612131401381168703301270544324452613025198963631479205226
(16:26) gp > na(1842345)
%37 = 2.00000036185776612133221538678489460866457882999723176943891566123318151
(16:26) gp > na(1842346)
%38 = 2.00000036185776612124380751120749492406307983911995621444886516181213986
(16:27) gp >

复制代码

elim · 发表于 2018-3-29 07:24

楼上 a(n) 的渐近公式证明了当 n = 677761 时 na(n) > 2

当 n = 1842344 ± 1 时 na(n) 达到最大值，然后递减趋于 2.

这些结果是相对于 a(1) = log(3/2) 而言的。对较大的初始值 a(1), λ 会变小，收敛速度将加快。

jzkyllcjl · 发表于 2018-3-29 08:00

你的分析中的λ等于什么?，没有算出来呀！你的a(n)表达式a(n)=2/n+(2/3)log(n)/n^2-c/n^2+……，与你的对数性递推题设 a(n+1)=ln(1+a(n) 如何对应，如何对照。你说过是分析，因此的数字计算不用看。

elim · 发表于 2018-3-29 11:49

jzkyllcjl 发表于 2018-3-28 17:00
你的分析中的λ等于什么?，没有算出来呀！你的a(n)表达式a(n)=2/n+(2/3)log(n)/n^2-c/n^2+……，与你的对 ...

只要看懂我这些分析，老差生的问题就不是问题了。这里的所谓渐近展开，对绝大多数数学爱好者来说都是新东西。希望引起关注。

大致说来，Taylor 展开是在某个有限点的领域里有效，越靠近这点越准，渐近展开恰恰相反，它可以看作是在无穷远点的领域中的展开式。

jzkyllcjl · 发表于 2018-3-29 17:49

你的主贴中的τ（n）.ln n→1/3, ,A(n)的理想极限是2/3的结论不成立。

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试证 a(1)>0,a(n+1)=ln(1+a(n)), 则 lim n(na(n)-2) = ∞

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