重新整理证明：无理数在数轴上不存在的逻辑证明

门外汉

在现有的数学理论中，全体实数可以与数轴上的所有点形成一一对应的关系，从而全体实数能够填满整个数轴而不留任何空隙。实数包括有理数和无理数，假如将数轴上的所有无理数全部删除，使得数轴上只剩下有理数，那么这条数轴就不是连续的了，数轴上必存在无穷多的空隙。
然尔本人研究出来的一种方法，却可以仅将有理数集中的一个子集便能填满整个数轴，从而在该数轴上不存在无理数，这究竟是怎么做到的呢？
在介绍这种方法之前，先给出几个集合：先给定一条长度为1的线段[0，1]，设S为线段[0，1]上所有实数的集合，Q为线段[0，1]上所有有理数的集合，W为线段[0，1]上所有无理数的集合。我们知道：有理数集合Q与无理数集合W的并便是所有实数的集合S。
现在设一个特定的集合Q1＝{m/2^n｜m<2^n，m=1，3，5，7，9……2n+1……，n=1，2，3，4，5……n……}。从这个集合可以看出来，因为该集合中的所有元素全都是有理数，并且所有的元素全都小于等于1，所以它是线段[0，1]上所有有理数集合Q的一个子集，我们可以列出Q1中的所有元素，分别是：{1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16,5/16……}
接下来要做的事情是：仅仅用线段[0，1]上所有有理数集合Q的一个子集Q1中的所有元素，便能填满线段[0，1]中的所有实数位置，使得[0，1]中的所有无理数都不能插入到其中，从而证明在线段[0，1]上不存在无理数。
为了更直观形象的说明整个的证明过程，下面配以图示的方法来进行说明：



在上图中，第（1）步，先将线段[0，1]中0和1两个点中间的所有点全部删除，只保留0和1两个端点（即在[0，1]中删除开区间（0，1），只保留0和1两个端点）。
在此说明一下：为什么要进行这样的操作呢？因为先将0和1中间的所有点全部删除，使得0和1的中间没有任何一个点，然后再将Q1中的所有点全部填入到0和1之间，看一下Q1中的所有点能不能填满0和1之间的所有实数位置。按理来说，Q1中的所有元素只是[0，1]中的所有有理数集合Q的一个子集，是不可能将从0到1的所有位置全部填满的，但接下来便会证明的确会填满从0到1的所有位置。
从图中可以看出：将0和1之间的所有点全删除后，0和1的中间没有其他点，留下了一个长度为1的空白位置，在这里称为0和1两点间的空隙。
在此给出“空隙”的定义：如果两个相异点a和b的中间不存在其他点，则称a和b两点之间的距离为空隙，记为<a，b>，易知：如果a和b两点之间存在空隙，则有a不等于b，如果a和b两点之间不存在空隙，则有a=b。
第（2）步，将Q1中的元素1/2插入到a和b的中间，则变成了两个空隙：<0，1/2>，<1/2，1>，这两个空隙的长度为1/2。
第（3）步：将Q1中的元素1/4，3/4分别插入到两个空隙之中，则变成了四个空隙，每个空隙的长度为1/4。
第（4）步，将1/8，3/8，5/8和7/8填入其中，则变成了八个空隙，每个空隙的长度为1/8
    第（5）步：……
    第（6）步：……
   可以看出来，随着操作次数的增加，填入的点越来越多，直至无穷，而出现的空隙也越来越多，直至无穷，空隙的长度也会变得越来越短，其长度的变化分别为：1/2，1/4，1/8，1/16……无限的趋近于0，极限的情况下，最后所有的空隙的长度全都为0.
   现在考虑这样的问题：如果往0和1的上面填入点，应该填入到什么位置呢？只能填入到两点之间的空隙之中，举例来说，如果往<0，1>的这个空隙里填入点，不能填到0这个位置，也不能填到1这个位置上，只能填在两个点之间的空隙内。
但是，当所有的空隙的长度全都变为0的时候，也就是说：这条线段上已经没有任何空隙了，那么，这时候，还能再往里填入点吗？填到什么位置上？
    所以说：当所有的空隙的长度全都变为0的时候，这条线段上已经没有空隙了，不能再往里填入任何一点了。
    而从操作的全过程来看，填入的所有点全都是集合Q1中的元素，也就是说：仅仅用[0，1]区间有理数集合Q的一个子集，便已经填满了线段[0，1]中的所有位置，再也填不进去任何一点，此时如果再将[0，1]区间的无理数集合W的元素填入其中，便会发现W中的任何一个无理数都不能插入到其中去，所以最后的结果便是：线段[0，1]上只存在有理数，不存在无理数。
我们知道，在现有的数学体系中，有理数是不能填满数轴的，但为什么在这个例子中，有理数就能填满整个数轴呢？这个证明是否存在逻辑错误？如果这个证明不存在任何的逻辑错误，那只能说明现有的数学理论中存在矛盾。

elim

你的过程，如果不按照集合论的解读，是没完没了的，所以没有最后，也没有区间长度为零无法填点的问题。一旦用集合论解读就变成 ∪A(n), 其中 A(n) 是 形如 k/2^n 的点的集合。但这样的点显然不构成全部实数，所以它没有填满数轴，于是你还可以往里填数，只是这些数不在你的任何小区间里而已。谈不上矛盾。

malingxiao1984

数轴上的点与实数一一对应，而实数具有稠密性和完备性，你这个方法都经受不住这两个性质的考验。关于这两条性质，说直观点就是------
稠密性：无孔不入
完备性：密不透风

malingxiao1984

还有一个概念，可列集与不可列集，实数是不可列集，而你构造的这个集合是可列集。

malingxiao1984

还有一个概念被你偷换了，
①有限个有理数的和是有理数。
②但无限个有理数的和，它的极限不一定是有理数。
你这个论证依赖于用无限个有理数的和去逼近给定的数，但数学史上有很多这种反例，比如：
1+1/4+1/9+1/16+……，
1+1/1!+1/2!+1/3!+……
等等，这些都极限都是无理数。
所以你偷换了①和②的概念，你的方法本质就是可以用若干个或者无限个1/2的冥做加减运算去逼近一个给定的数，事实上牵扯到无限个有理数的和，它的极限是不是有理数，你并没有给出证明，
我觉得可以构造一个无限个1/2的冥做加减运算，它的极限是无理数的例子，但最近比较忙，有时间我会尝试构造一个由你这个方法生成的无理数。

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-3-27 09:00
还有一个概念被你偷换了，
①有限个有理数的和是有理数。
②但无限个有理数的和，它的极限不一定是有理数 ...

思考了一下，构造这样的数也不复杂，其实就是将10进制数用2进制数表示。
你的问题就是：二进制是不是可以表示所有的实数？

二进制的无限小数能表示所有的实数。
一个数是无理数 当且仅当 这个数的二进制小数表示是无限不循环的。
有限位的二进制小数只能表示有理数中的一部分——既约分数表示中分母只有 2 的方幂的那些有理数。
十进制也一样的。十进制的无限小数能表示所有的实数。
一个数是无理数 当且仅当 这个数的十进制小数表示是无限不循环的。
有限位的十进制小数只能表示有理数中的一部分——既约分数表示中分母只有 2 的方幂与 5 的方幂乘积的那些有理数。
举个例子，1/4 是有理数，二进制表示是 0.01，十进制表示是 0.25，都有有限小数表示。1/5 是有理数，二进制表示是 0.0011 0011 0011... 循环节是 0011，十进制表示是 0.2，前者无限循环后者有限。根号 2 是无理数，二进制表示 1.0110101000...，十进制表示 1.4142135623...，都是无限不循环小数。

你的观点就是“10进制的无理数在2进制下不是无理数”，这显然是错的。

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-3-27 10:15
思考了一下，构造这样的数也不复杂，其实就是将10进制数用2进制数表示。
你的问题就是：二进制是不是可 ...

这个论述希望你能看明白，这个论述可以推翻由你的观点延伸出来的用其它n分法得出的结论。
说白了就是不同进制之间的转化。

malingxiao1984

elim 发表于 2018-3-26 21:36
你的过程，如果不按照集合论的解读，是没完没了的，所以没有最后，也没有区间长度为零无法填点的问题。一旦 ...

老师可以看看我以上的回答对不对，不用集合论和实分析，也能轻松推翻楼主的论证。

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-3-27 08:37
还有一个概念，可列集与不可列集，实数是不可列集，而你构造的这个集合是可列集。

所以我这句话有点问题，不管是10进制还是2进制，实数都是不可列集，而你承认10进制实数不可列，但却不承认2进制实数不可列，显然是错的，10进制实数的不可列性和2进制实数的不可列性是等价的。

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-3-27 08:27
数轴上的点与实数一一对应，而实数具有稠密性和完备性，你这个方法都经受不住这两个性质的考验。关于这两条 ...

所以我这个观点也有问题，你的方法确实可以生成[0，1]中的所有实数，包括无理数。