请教微分中值定理的一个问题

simpley

微分中值定理的条件是在闭区间（a,b）连续，在开区间可导。请问，在闭区间连续，开区间可导，那在闭区间是否也必可导？

liangchuxu

无需开区间可导

simpley

在闭区间连续，开区间可导，那在闭区间是否必可导？（区间可导就是单边可导）

liangchuxu

举个例子说明

天山草@

如果规定：导数是无穷大也算是可导，那么微分中值定理的条件是否就可以改为——
微分中值定理的条件是在闭区间 [a,b] 上连续并可导。？
既然 “可导必连续”， 那上述条件是否也可以说成——
微分中值定理的条件是在闭区间 [a,b] 上处处可导。？

归根到底，为什么要规定：导数是无穷大就认为是不可导？ 这个问题大概只有陆教授能说明白。

例如，f(x) 等于 x 的立方根这个函数，在 x=0 这一点的导数就是无穷大。这个函数是处处连续的，除了 x=0 这个点以外，也是处处可导的。—— 这有多别扭啊， 要是规定导数等于无穷大也算可导，竖不是皆大欢喜！

liangchuxu

我认同楼主部分观点：变量趋于无穷大也是确实存在的客观事物；这里遇到一个极限本身的概念问题。单边可导意味着单边极限。函数在某点极限存在的要求是左右极限相等。
将定理条件叙述改为：开区间可导，且端点为单边可导---------就定理本身所解决问题----函数端点值与区间内某点导数值存在关系而言，似乎无太大意义。除非，能找到一个与端点导数值有关联的函数。

malingxiao1984

维尔斯特拉斯曾今构造了一个处处连续但却处处不可导的函数。可导必然连续，但连续不一定可导。
有些函数会在区间端点的邻域振荡无数次，端点不可导，这时候就是闭区间连续，开区间可导，中值定理仍然成立。如果中值定理的条件改成闭区间可导，那么对这样的函数中值定理就不能使用。
所以闭区间连续、开区间可导改成闭区间可导会缩小中值定理的使用范围。
还有，中值定理的证明依赖于利用罗尔定理构造函数，而罗尔定理是由最值定理证明而得的，最值定理成立要求函数在闭区间连续，但对可导性没要求。
最后，楼上说的导数无穷大是导数不存在的一种情况，但导数振荡，也就是导数的值不唯一，也是一种情况，即使规定了“导数是无穷大也算是可导”，也不能排除掉导数不存在的另一种情况，中值定理成立的条件还是不能改。

simpley

能否举一个在区间端点的邻域振荡无数次的函数。
如果在端点邻域振荡无数次,那是否意味着在开区间也不可导呢？

malingxiao1984

simpley 发表于 2018-3-28 11:02
能否举一个在区间端点的邻域振荡无数次的函数。
如果在端点邻域振荡无数次,那是否意味着在开区间也不可导 ...

比如这个函数：

simpley

对，确是为闭区间连续，开区间可导，闭区间不可导