n^2+n+1 整除 n^2010+20 ，有几个正整数 n 的解？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/08/31 06:03pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

n^2+n+1整除 (n^2010)+20 有幾個正整數 n 的解

luyuanhong

moranhuishou

也做一个：
首先
可以用计算器验证，当n=1,2,4时，n^2+n+1整除 (n^2010)+20 。
当n>4时，有
n^2+n+1= (n+1)^2-（n+1）+1
（证略。）
因为
(n^2010) +20=(n^2010)-1 +21
(n^2010)-1=[ (n^1005)-1] [ (n^1015)+1]
(n^3) +1 |(n^1015)+1
( n^2-n+1)| (n^1015)+1
(n^2+n+1)| (n^2010)-1
所以
(n^2010)+20=21[mod (n^2+n+1)]
所以，只有当n=1,2,4时n^2+n+1整除 (n^2010)+20。
毕。

moranhuishou

整理一下