求无穷级数 ∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1] 之和

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

moranhuishou

1/3                                          

moranhuishou

证明
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/(4^2-1)，n=1;
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/(4^2^2-1)，n=2;
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/(4^2^3-1)，n=3;
…
极限 1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=0，(n=无穷大)
毕.

moranhuishou

改改——
证明
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/15，n=1;
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/[4^4-1]，n=2;
1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=1/(4^8-1)，n=3；
lim n趋于无穷大   1/3-{∑4^[2^(n-1)]/[4^(2^n)-1]}=0
毕.

moranhuishou

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。